几何与代数的最佳拍档之解密“角平分线”_角平分线的几何语言
时间：2020-03-26 07:37:28 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
摘要：本文针对角平分线问题，分析阐述了四种解题思路。 关键词：几何；代数；解密；角平分线 中图分类号：O1文献标识码：A 文章编号：1009-0118（2011）-12-0-01
一、概念
（一）角平分线的定义
从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线。
（二）角平分线的性质
1、角平分线上的一点到角的两边距离相等。
2、角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。
例：直线:2+1=0是三角形△ABC的一条内角平分线，点A（1,2）、B（-1,-1）是三角形△ABC的两个顶点。求顶点C的坐标。
二、分析
由于直线与线段AB相交，故直线是过顶点C的内角平分线，依据题意，想要求出C点的坐标，只要求出直线CA、直线CB的方程之一便可，或者求出线段CA、线段CB的长度之一也行。按照以上分析，至少有以下四种解题思路：
（一）思路1：利用“两夹角相等，则两夹角的正切值也相等”的性质解题
解法1：设点C的坐标为(,12），则直线BC的斜率，直线BC的斜率。依据两直线夹角�a正切值与两直线斜率的关系tg可得：=解之得：=，代入直线便可得到C点的坐标为（，）。
（二）思路2：利用“等腰三角形中，底边上的高三线合一”的性质解题，可在BC上找到点A关于L对称的点B′，则△CB′A是等腰三角形。这时可求出B′的坐标，再求出直线BC的方程，从而得到C点的坐标。
解法2：设点A关于对称的点为B′,直线AB′与直线的交点M的坐标为（，），由于直线AB′垂直于直线所以直线AB′的方程为：2--3=0。解方程组：
得M点的坐标为（，），利用中点公式可得到B′的坐标为（，），由于点B′在BC上,故BC的方程为：2+9+11=0，解方程组：
可得到C点的坐标为（，）。
思路3：利用“角的两边关于该角的平分线对称”的性质解题。只要先求出点A关于直线的对称点B′的坐标，再求出直线BC的方程，从而求出直线BC与直线的交点C的坐标。（与思路2不同的是：这里并不去求直线AB′与直线的交点M的坐标）。
（三）解法3：设点A关于直线对称的点为B′的坐标为（，），由于直线AB′垂直于直线，并且点A与点B′的中点在直线上，故可得方程组：
解之得B′的坐标为（，），则BC的方程为：
2+9+11=0，再解方程组：
可得到C点的坐标为（，）。
（四）思路4：利用“在三角形中，一角的两边与该角平分线所分对边的两线段成比例”的性质解题。
解法4：设点C的坐标为（，12），直线与线段AB的交点为D,利用“两点式”可得到直线AB所在的方程：
32+1=0，解方程组：
得D点的坐标为（，），依据“在三角形中，一角的两边与该角平分线所分对边的两线段成比例”的性质则有：= ，不难得到= ；=。
所以：=，解之得1=或2= (是点D的横坐标应舍去)，将1=代入方程2+1=0，可得到C点的坐标为（，）。
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