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    【三视图】 三视图最简单看法

    时间:2020-02-23 07:35:09 来源:雅意学习网 本文已影响 雅意学习网手机站

      纵观近几年的各地高考数学试卷,有关三视图的考题有以下两类:其一是从直观图到三视图,即由几何体的直观图画出或选择其三视图;其二是从三视图回归到直观图,即所谓的三视图的逆向问题.
      
      
       1. 三视图的重点
       ①画出简单组合体的三视图.
       ②识别三视图所表示的空间几何体.
       2. 三视图的难点
       ①三视图的逆向问题.
       ②当三视图表示的空间几何体不唯一时几何体的确定.
      
      
       对于三视图中涉及的逆向问题,笔者通过对近年各地高考数学试题的研究发现,这种问题通常有定型式、寄居式、组合式等三种呈现形式,下面分类介绍解决这些问题的常用解题对策.
       1. 定型式――先底面,再顶点
       对于题设中已经给出原立体图的类型或容易看出原立体图的类型的问题,一般可先由俯视图确定其底面的形状(通常情况下与其全等),再由主视图、侧视图及俯视图确定其他顶点的位置. 从而画出原几何体的直观图.
       2. 寄居式――先外壳,再加工
       若能在三视图中发现原几何体是由一个我们熟悉的几何体进行切割加工而成的,即原几何体“寄居”在某一给定的外壳(母体)内,则可先由各个视图的外形确定其外壳,再由各个视图内的有关线段确定其加工的过程,从而确定原几何体的形状.
       3. 组合式――先猜想,后验证
       对于组合体问题,最好能根据三视图的性质,猜想组成组合体各部分的几何体的形状,然后加以验证,从而得到原几何体的直观图,使问题得到解决.
      
      
       一个棱锥的三视图如图1,则该棱锥的全面积(单位:cm2)为( )
       A. 48+12
       B. 48+24
       C. 36+12
       D. 36+24
       思索 注意到题设已给出原几何体是一个三棱锥,所以可运用“先底面,再顶点”的解题对策.
       破解 由俯视图可知,棱锥的底面是腰长为6的等腰直角三角形;由正视图和侧视图可知,这个三棱锥的高为4,且顶点在底面的射影恰为底面直角三角形斜边的中点,所以其直观图如图2,其中PA=PB=PC,且PO=4,OD=3,PD=5,AB=6(其中D,O分别为AC,AB的中点),所以其全面积为:×6×6+2××6×5+×6×4=48+12,故选A.
       点评 解决本题的关键所在是如何由几何体的三视图确定其直观图,根据“先底面,再顶点”的原则,其底面比较容易确定,所以解题的重点是由正视图和侧视图确定顶点的位置.
       若某多面体的三视图(单位:cm)如图3所示,则此多面体的体积可能为________.
      
      图3
       思索 注意到三视图的“外壳”都是边长为1的正方形,所以原几何体的“外壳”应该是一个棱长为1的正方体,即原几何体“寄居”在这个单位正方体之中,故可通过对单位正方体的切削加工得到原几何体.
       破解 (1)易见,原多面体可以看成由棱长为1 cm的正方体ABCD-A1B1C1D1经过切割加工而得到(即其母体为正方体).
       (2)由各个视图的内部线段可知,加工截面经过A1D,BD,所以原多面体是正方体ABCD-A1B1C1D1截去四面体A-A1BD而得到的多面体.
       (3)由于截去的四面体的体积为cm3,所以此多面体的体积为cm3.
       (4)当一个几何体的三视图确定时,其几何体不是唯一确定的,事实上,正方体ABCD-A1B1C1D1中,截去四面体A-A1BD后,再截去四面体C1-B1D1C所得的几何体也满足要求(由于视图中应出现的虚线恰被实线覆盖),此时所得的几何体的体积为cm3.
       (5)综上所述,此多面体的体积可能为cm3或cm3.
       点评 许多同学对这道试题感觉无从下手,究其原因,多数同学没有注意到原多面体是“寄居”在一个单位正方体内的事实,因此也没有很好地发挥其母体――正方体的作用.
       一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
      
      图5
       A. 2π+2 B. 4π+2
       C. 2π+ D. 4π+
       思索 由三视图可知,原几何体是一个组合体,所以可运用“先猜想,后验证”的解题对策.
       破解 由三视图可知, 该几何体由一个柱体和一个锥体组合而成.由正视图可知,上半部分显然是棱锥,再注意到俯视图性质,下半部分必为圆柱,且圆柱的高为2,底面半径为1,其体积为2π;上半部分为正四棱锥,侧棱的长为2,底面正方形对角线的长为2,所以其高为,底面积为2,其体积为,总的体积为2π+,故选C.
       点评 在观察三视图时,注意图形中的各个细节是很重要的,否则会差之毫厘,谬以千里,如本题中,注意到主视图的上半部分的三角形内还有一线段,即可得上半部分不可能是圆锥,从而使问题得到顺利解决.若对三视图做细微的改变,可得到很多不同结论的变式问题,同学们可以自己试一试.
       一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等,体积为2,它的三视图中的俯视图如图7所示,左视图是一个矩形,则这个矩形的面积是_________.
       思索 注意到侧棱长和底面边长相等的正三棱柱有且仅有一个基本量,即当其体积确定时,这个正三棱柱也完全确定,所以其俯视图确定后,其左视图也完全确定.
       破解 设正三棱柱的侧棱长和底面边长均为a,则其体积为V=a3=2,解得a=2,所以其左视图是一个长为2,宽为的矩形,所以其面积为2.
       点评 画三视图的“规矩”要熟练掌握,否则像本题这样的容易题也容易出问题.
      
      
       1. 三视图中涉及的主要问题是从几何体到三视图及从三视图回到几何体,出现的试题难度也不大,但必须通过适度的训练,掌握解决这类问题的“基本套路”(解决三视图问题的常用方法和技巧).
       2. 三视图的本质是什么?其本质是从正、俯、侧三个角度看几何体,因此若在掌握解题的“基本套路”的同时又能把握其本质,则可以不变应万变.
      

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