【应用向量共线定理解题的技巧】向量共线定理
时间：2020-03-23 07:17:19 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
向量共线定量是指向量b与非零向量a共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使b=λa，即b//a b=λa（a≠o）。 推论：设OA、OB是两个不共线的非零向量，求证：A、B、P三点共线的充要条件是存在唯一的实数λ、μ，使OP=λOA+μOB，且λ+μ=1。
证明：
必要性：
∵A、B、P三点共线，∴AP与AB共线
∴存在t∈R,使AP=tAB
∴OP-OA=t(OB-OA)
vOP=OA+tOB-tOA=(1-t)OA+tOB
设1-t=λ,t=μ,则OP=λOA+μOB,且λ+μ=1,λμ∈R,
充分性：
由λ+μ=1 λ=1-μ,代入OP=λOA+μOB得
OP=(1-μ)OA+μOB
=OA-μOA+μOB
∴OP-OA=μ(OB-OA)
即AP=μAB
∴AP与AB共线，即A、B、P三点共线。
应用：
例1.在ΔABC中，AM：AB=1：3，AN：NC=1：4，BN与CM交于点E，令AB=a,AC=b,试用a、b表示AE。
解：∵B、E、N三点共线
∴存在实数λ使AE=λAN+（1-λ）AB
=■b+（1-λ）a
又∵C、E、M三点共线
∴存在实数μ，使AE=μAM+（1-μ）BC
=■a+(1-μ)b
由向量表示的唯一性可得
■=1-μ
■=1-λ μ=■，λ=■
∴AE=■a+■b
评述：此题所涉及的量较多，且向量与向量之间的关系较为复杂，因此对学生来说确有一定困难，本题运用向量共线定理的推论轻松获解。
例2.设O为ΔABC所在平面内一点，且OA=2OB+3OC，求ΔABC和ΔOBC的面积之比。
解：∵OA=2OB+3OC
∴■OA=■OB+■OC
令OE=■OA，则A、O、E三点共线
又∵■+■=1，∴B、C、E三点共线
从而E为AO与BC的交点，且OE=■OA
因为ΔABC与ΔOBC的面积之比等于BC边上高之比，
而高之比等于AE：EO=4：1
∴ΔABC与ΔOBC的面积之比为4：1。
评述：本题巧妙地运用了向量共线定量的推论，使复杂问题简单化，从而轻松获解。
（作者单位：江西省永新县任弼时中学）
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