数学归纳法及应用_浅谈数学归纳法的应用
时间：2019-01-24 03:31:14 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
教学目标: 1.知识目标 (1)理解并掌握用数学归纳法原理及证明的三个步骤。 (2)会用数学归纳法证明等式和不等式。 2.能力目标
通过对数学归纳法的复习、应用,培养学生分析问题的能力和严密的逻辑推理能力。
3.情感目标
(1)通过对数学归纳法原理的复习探究,培养学生严谨的、实事求是的科学态度和不怕困难、勇于探索的精神。
(2)让学生通过对数学归纳法原理的理解,感受数学内在美的震憾力,从而使学生喜欢数学。
(3)学生通过质疑与探究,培养学生独立的人格与敢于创新精神。
教学重难点
1.重 点
(1)理解数学归纳法的原理。
(2)明确用数学归纳法证明命题的三个步骤。
(3)会用数学归纳法证明等式和不等式。
2.难 点
(1)对数学归纳法原理的理解,即理解数学归纳法证题的严密性与有效性。
(2)假设的利用,即如何利用假设证明当n=k+1时结论正确。
教学方法:
通过多媒体师生互动讨论、探究的方法
教学过程:
一、创设情境,启动思维
让学生复习教材,同时探究下面的三道小题,从而达到温故而知新的目的。
二、讨论交流,深化认识
1.用数学归纳法证明“2n>n2+1对n≥n0的正整数n都成立”时,第一步证明中的起始值n0应取 5 。
注意起始值的验证,因为它是递推的基础。
2.用数学归纳法证明“当n为正奇数时,xn+yn能被x+y整除”时,下列过程中正确的个数是 ②③ 。
①验证n=1时成立,由“n=k(k为正奇数)时命题成立”推出“n=k+1时命题成立”;
②验证n=1时成立,由“n=k(k为正奇数)时命题成立”推出“n=k+2时命题成立”;
③验证n=1时成立,由“n=2k-1(k为正整数)时命题成立”推出“n=2k+1时命题成立”;
④验证n=3时成立,由“n=2k+1(k为正整数)时命题成立”推出“n=2k+3时命题成立”;
3.对于不等式1,n∈N*),某学生用数学归纳法的证明过程如下:
(1)当n=2时,2,k∈N*)时,不等式成立,即成立.
证明:(1)当n=2时,左=1+=,右=,左>右,
∴不等式成立.
(2)假设n=k(k≥2,且k∈N*)时,不等式成立,即
(1+)(1+)…(1+)>
那么当n=k+1时,
(1+)(1+)…(1+)=1+>•
=
=>
==
∴n=k+1时,不等式也成立.
由(1)(2)知,对一切大于1的自然数n,不等式都成立.
例3.求证:对一切大于1的自然数n,1+1++=1++=1+
即n=k+1时,命题成立
综合(1)(2)可得:原命题n∈N*对原不等式成立。
思维点拨:证明当n=k+1时向目标式靠拢时注意增加的项数,同时要注意需要逐项放缩。
四、反思感悟(师生共同完成)
注意“递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉”;
从n=k到n=k+1时,变形方法有因式分解、添拆项、配方、放缩等方法。
五、课后练习
1.设f(n)=1+++…+,是否存在关于正整数n的函数g(n),使等式f(1)+ f(2)+…+f(n-1)=g(n)•f(n)-1对于n≥2的一切自然数都成立?证明你的结论。
2.用数学归纳法证明:
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