[反证法在线性代数解题中的应用举例]反证法解题步骤
时间：2019-01-05 03:36:53 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
数学证明方法可分为直接证法和间接证法。从原命题所给的条件出发,根据已有的公理、定义、法则、公式,通过一系列的推理,一直推导到所要证明的命题的结论,这种证法叫做直接证法。有些命题不易用直接证法去证明,这时可通过证明它的等价命题真,从而断定原命题真,这种证法叫做间接证法。反证法是数学中常用的间接证法之一。
一、反证法
既然反证法是间接证法,那么反证法也是通过证明原命题的等价命题从而证明原命题的。反证法是指:“证明某个命题时,先假设它的结论的否定成立,然后从这个假设出发,根据命题的条件和已知的真命题,经过推理,得出与已知事实(条件、公理、定义、定理、法则、公式等)相矛盾的结果。这样,就证明了结论的否定不成立,从而间接地肯定了原命题的结论成立。”这种证明的方法,叫做反证法。运用反证法证题一般分为以下三个步骤。
1.假设命题的结论不成立;
2.从这个结论出发,经过推理论证,得出矛盾;
3.由矛盾判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确。
即:提出假设―推出矛盾―肯定结论。
反证法在线性代数解题中的应用非常广泛,但什么时候应该使用反证法,证明哪些命题适宜使用反证法,都没有一定的规律可循。原则上说,应该因题而异、以简为宜。首先从正面考虑,当不易证明时,再从反面考虑。当由假定原命题结论的否定成立去推出矛盾比证明原命题更容易时,就应该使用反证法。
二、反证法在解线性代数题时的应用
1.对于结论是否定形式的命题,宜用反证法。
由于定义、定理等一般是以肯定的形式出现,因此用它们直接证明否定形式的命题可能会有困难。但否定的反面是肯定,因而从结论的反面入手,即用反证法来证会比较方便。
例1.设矩阵A的特征值λ≠λ,对应的特征向量分别为α、α,证明:α-α不是A的特征向量。
证明:假设α-α是矩阵A的特征向量,则存在数λ,使A(α-α)=λ(α-α)=λα-λα。又由题设条件可知Aα=λα、Aα=λα,于是A(α-α)=Aα-Aα=λα-λα,则有λα-λα=λα-λα,即(λ-λ)α+(λ-λ)α=0。因α、α是属于不同特征值的特征向量,故α、α线性无关,则λ-λ=λ-λ=0,也即有λ=λ。与题设λ≠λ矛盾,所以α-α不是A的特征向量。
2.对于证明结论是“肯定”或“必然”的命题,宜用反证法。
即命题结论中出现“等于什么”、“必然是什么”、“一定是什么”等形式,而且从反面较易入手解题时,可考虑使用反证法。
例2.若λ不是A的一个特征值,则矩阵λE-A一定是可逆矩阵。
证明:用反证法,即设矩阵λE-A不可逆,则行列式|λE-A|=0,说明λ是特征方程|λE-A|=0的根,也即说明λ是A的一个特征值,与已知矛盾。所以矩阵λE-A一定是可逆矩阵。
例3.设β可由α,α,…,α线性表出,但不能由α,α,…,α线性表出,证明α一定可由β,α,α,…,α线性表出。
证明:用反证法,由题设可知,存在一组常数k,k,…,k,使得β=k,α+kα+…+kα。假设k=0,则存在一组常数k,k,…,k,使得β=kα+kα+…+kα成立,所以β可由α,α,…,α线性表出,这与题设矛盾,即k≠0;所以α=β+(-)α+(-)α+…+(-)α,即α一定可由β,α,α,…,α线性表出。
3.对于证明结论是“惟一”或“必然”的命题,宜用反证法。
即命题结论要求证明某元素是“惟一”或某种表示方式是“惟一”的,而直接去找某个元素或某种表示方式比较困难时,则可考虑从其反面入手。
例4.设向量β可由向量组α,α,…,α线性表出,证明:表示式惟一的充分必要条件是向量组α,α,…,α线性无关。
证明:由题设,存在常数k,k,…,k,使得kα+kα+…+kα=β(1)。
证明充分性:设向量组α,α,…,α线生无关,来证β由α,α,…,α的线性性表示式惟一。
假设β由α,α,…,α的线性表示式不惟一,设还有线性表示式为lα+lα+…+lα=β(2)。则k≠l(i=1,2,…,m),则(1)式与(2)式相减得:
(k-l)α+(k-l)α+…+(k-l)α=0。
由于α,α,…,α线性无关,故得k-l=0,即k=l(i=1,2,m)。这与k≠l(i=1,2,…,m)矛盾,即β由α,α,…,α线性表示式是惟一的。
证明必要性:设线性表示式(1)惟一,来证α,α,…,α线性无关。
假设α,α,…,α线性相关,则存在一组不全为0的数λ,λ,…λ,使得λα+λα+…+λα=0(3)。则(1)式与(3)式相加得:(k+λ)α+(k+λ)α+…+(k+λ)α=β。因为λ,λ,…,λ不全为0,从而存在β的两种不同表示方法,这与β由α,α,…,α的线性表示式惟一矛盾,因此向量组α,α,…,α线性无关。
4.对于证明结论是“至少什么”或“至多什么”的命题,宜用反证法。
例5.试证:向量组α,α,…,α(其中α≠0,s≥2)线性相关的充分必要条件是至少有一个向量α(1≠i≤s)可以被α,α,…,α线性表出。
证明充分性:设有向量α可以由α,α,…,α线性表出,则α,α,…,α线性相关。由于α,α,…,α是α,α,…,α的一个部分组,所以α,α,…,α线性相关。
证明必要性:用反证法,假设每个α(1≠i≤s)都不能由α,α,…,α线性表出。我们接下来来证明α,α,…,α线性无关,设有一组数k,k,…,k,使得kα+kα+…+kα=0(1),
则必有k=0,否则k≠0时,α可由α,α,…,α线性表出,与假设不符。这样(1)式成为kα+kα+…+kα=0。同理可推出k=0,…,k=0,因此(1)式成为kα=0。
又已知α≠0,故得k=0。所以向量组α,α,…,α线性无关,与必要性的题设矛盾,假设不成立。即至少有一个向量α可以由α,α,…,α线性表出。
5.对于某些逆命题的正确性,可用反证法。
当原命题与其逆命题都成立时,其逆命题的正确性可用反证法来证明。
例6.设A是n阶实对称矩阵。试证:r(A)=n的充分必要条件是存在矩阵B,使AB+BA是正定矩阵。
证明必要性:由r(A)=n知A是可逆矩阵,取B=A,则有AB+BA=AA+(A)A=AA+(A)A=2E为正定矩阵。
证明充分性:用反证法,假设r(A)≠n,则n元齐次线性方程组AX=0有非零解,即有X≠0,使AX=0,也就有XA=0。由(AB+BA)=BA+AB=AB+BA,说明AB+BA是实对称矩阵。
上述X≠0时,f=X(AB+BA)X=0,与AB+BA是正定矩阵矛盾,所以r(A)=n。
参考文献:
[1]钱椿林.线性代数(第二版)[M].北京:高等教育出版社,2005.
[2]王中良.线性代数解题指导[M].北京:北京大学出版社,2004.
[3]同济大学应用数学系.线性代数附册(学习辅导与习题选解)[M].北京:高等教育出版社,2009.
[4]苏化明,潘杰.反证法在解线性代数题中的应用[J].高等数学研究,2009,3.
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