【空间几何体的表面积和体积】 空间几何体知识点总结
时间：2020-02-23 07:35:07 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
空间几何体的表面积、体积是高考中常考的一个重要知识点，题型大多为解答题中的一个步骤，或者一个填空、选择题，主要考查棱柱和棱锥的表面积、体积．
１. 球、柱、锥、台的侧面积和体积的重点
①了解球、柱、锥、台的侧面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）；
②能应用球、柱、锥、台的侧面积和体积公式解决相关问题．
２. 球、柱、锥、台的侧面积和体积的难点
近些年来在高考中不仅有直接求球、柱、锥、台的侧面积和体积的问题，也有已知面积或体积求某些元素的量或元素间的位置关系问题，更有与其他知识交汇的创新题型． 即使考查空间线面的位置关系问题，也常以几何体为依托，因而我们要熟练掌握球、柱、锥、台的侧面积和体积的求积公式． 同时也要学会运用等价转化思想，把组合体求积问题转化为基本几何体的求积问题，把立体问题转化为平面问题求解，运用“割补法”等求解．
1. 直接求球、柱、锥、台的侧面积和体积问题
当题目要求求解几何体的面积或体积时，只需直接套用公式即可求解，必要时应考虑采用“等积法”进行转化． （见例1）
2. 已知面积或体积求某些元素的量或元素间的位置关系问题
当题目给出几何体的面积或体积时，我们可以先运用面积或体积公式求解出几何体的某些元素未知的量，然后根据这些量的关系，求解元素间的空间位置关系． （见例2）
3. 与三视图交汇的问题
在求解与三视图交汇的问题时，应先将三视图还原为直观图，然后把三视图中的条件转化到直观图中，运用表面积和体积公式进行求解． （见例3）
4. 与几何概率交汇的问题
在求解与几何概率交汇的问题时，应先确定所求的概率是哪两部分面积或体积的比例，然后分别求出所需的面积与体积． （见例4）
如图1，已知直角梯形ABCD的上底BC=，BC∥AD，BC=AD，CD⊥AD，平面PDC⊥平面ABCD，△PCD是边长为2的等边三角形，求三棱锥A－PBD的体积．
思索 求三棱锥A－PBD的体积时，若把△PBD视为底面，则难于作出高，所以可以采用等积法进行转化，VA－PBD=VP－ABD，把△ABD视为底面（可求），则DC的中点为E与P点的连线PE即为高（可求），那么三棱锥A－PBD的体积即可求．
破解 设线段DC的中点为E，连结PE． 因为△PCD是等边三角形，所以PE⊥DC，且PE=． 又因为平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=CD，所有PE⊥平面ABCD，所以VA－PBD=VP－ABD=•S△ABD•PE=וAD•DC•=．
点评 在求解三棱锥的体积时，应注意转换顶点，寻找合理的底面和高，然后直接套用公式即可．
如图2，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，AA1=A1C=AC，AB=BC，且AB⊥BC，O为AC中点，三棱锥V的体积为，求直线A1C与平面A1AB所成角的正弦值．
思索 要求直线A1C与平面A1AB所成角的正弦值，则需要知道三棱柱的底面边长和侧棱长，因此应通过“三棱锥V的体积”这一已知量，求解出底面边长和侧棱长，进而求解原问题．
破解 因为A1A=A1C，且O为AC的中点，所以A1O⊥AC. 又由题意可知，平面AA1C1C⊥平面ABC，交线为AC，且A1O?奂平面AA1C1C，所以A1O⊥平面ABC． 设AA1=A1C=AC=a，所以三棱锥的高A1O=a． 又S△ABC=AB•BC=，所以三棱锥V=A1O•S△ABC=×a×=，所以=，所以a=2． 以O为原点，OB，OC，OA1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系． 由题意可知，A1A=A1C=AC=2，又AB=BC，AB⊥BC，所以OB=AC=1，所以O（0，0，0），A（0，－1，0），A1（0，0，），C（0，1，0），C1（0，2，），B（1，0，0），则有=（0，1，－），=（0，1，），=（1，1，0）. 设平面AA1B的一个法向量为n=（x，y，z），则有n•=0，n•=0?圳y+z=0，x+y=0.令y=1，得x=－1，z=－，所以n=－1，1，－，所以cos〈n，〉==. 因为直线A1C与平面A1AB所成角θ和向量n与所成锐角互余，所以sinθ=．
点评 已知空间几何体的面积或体积时，则可以由公式求解出几何体的某些空间量，进而应用空间向量的方法求解．
在三棱锥A－BCD中，它的三视图如图3，其中正视图和俯视图都是直角三角形，图中尺寸单位为厘米，求三棱锥A－BCD的侧面积．
图3
思索 把三视图恢复成如图4所示的直观图，则可证△ABC，△ABD，△BCD，△ACD均为直角三角形，由此可求三棱锥A－BCD的侧面积．
破解 因为AB⊥平面BCD，所以AB⊥CD． 又CD⊥BD，AB，BD都在ABD内，且相交于B点，所以CD⊥平面ABD，所以CD⊥AD，所以△ABC，△ABD，△BCD，△ACD均为直角三角形，由图中尺寸知，AB=15，BD=20，CD=10，所以AD=25，BC=10，所以S侧=S△ABD+S△ADC+S△ABC=150+125+75=275+75（cm2）．
点评 几何体的表面积与体积的问题经常与三视图的知识结合在一起考查，解题时应注意三视图与直观图的相互转化，结合两个图形进行求解．
如图5，圆柱OO1内有一个三棱柱ABC－A1B1C1，三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且AB是圆O直径． 设AB=AA1，在圆柱OO1内随机选取一点，记该点取自于三棱柱ABC－A1B1C1内的概率为p． 当点C在圆周上运动时，求p的最大值．
思索 概率p等于圆柱OO1的体积与三棱柱ABC－A1B1C1的体积之比，所以应选择一个共同的变量把这两个体积表示出来，然后计算它们的比值p的最大值．
破解 设圆柱的底面半径为r，则AB=AA1=2r，故三棱柱ABC－A1B1C1的体积为V1=AC•BC•2r=AC•BC•r． 又因为AC2+BC2=AB2=4r2，所以AC•BC≤=2r2，当且仅当AC=BC=r时等号成立，从而V1≤2r3． 而圆柱的体积V=πr2•2r=2πr3，故p=≤=，当且仅当AC=BC=r，即OC⊥AB时等号成立，所以p的最大值是．
点评 本题考查了立体几何与几何概型、不等式的交汇问题，很多同学因为其新而感到无所适从，其实，求解时只需翻译条件、步步逼近即可．
1. 纵观近年试题，与表面积、体积相关的试题基本不单独进行命题，最为典型的是与三视图进行交汇设计．
2. 立体几何是培养空间想象力的数学分支． 我们要重视想象，重视识图、画图，要将概念、性质灵活应用于图形，要把文字语言、符号语言和图形语言有机结合起来，要会把非标准图形转化为标准图形，对图形的割、补、折、展等高考常考不衰的内容应重点关注．
3. 克服“会而不对，对而不全”的现象． 在平时训练中，我们应当养成规范答题的良好习惯，在做解答题时注意“一看、二证、三求解”．
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