圆锥曲线离心率的取值范围求解方法_圆锥曲线离心率取值范围
时间：2019-04-15 03:13:14 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
求圆锥曲线离心率的取值范围，涉及到不等式、函数值域、曲线的定义、性质等知识。综合性强，计算量大，不少同学感到很辣手，下面从几个方面介绍。 一、利用定义 例1：已知双曲线■-■=1，（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，点Ｐ在双曲线的右支上，且ＰＦ■＝４ＰＦ■，则此双曲线离心率е的取值范围。
解：由题意联想到双曲线定义ＰＦ■＝ＰＦ■=2a， ＰＦ■＝４ＰＦ■∴ＰＦ■＝■a
∴PF■≥c-a得■a≥c-a即е=■≤■∴е?缀１，■。
二、利用方程求解
例2：设Q是椭圆■-■=1，（a>0，b>0）的右顶点，O为坐标原点，若椭圆上存在点P，使得∠OPQ=90°知，求椭圆的离心率的取值范围。
解：设p（x，y），则由∠OPQ=90°知，■-■=-1 ，即x（x-a）+y2=0又■+■=1两式联立消去y得，（a2-b2）x2-a3x+a2b2=0。显然，0＜x＜a，∴x1x2＜a2。x1·x2=■＜a■得e2＞■，∴■＜e＜1。
三、利用点的坐标范围
例3：在椭圆■＋■=1，（a>b>0）上存在点Ｐ，使∠ＡＰＢ=１２0°，其中Ａ，Ｂ为长轴的左右两个端点，求椭圆离心率e的取值范围。
解：设Ｐ（x0,y0)，（0＜y0≤b），Ａ（－a，0）,B(a,0)则kAP=■,kBP=■。
那么tan１２0°=■=■=■①
又■+■=1。
∴x■■＝a2-■y■■
将它代入①得■（b2-a2）y■■+2ab2y0=0
∴y■=■又y■≤b得4a■(a■-c■）≤3c■即3e■+4e■-4≥０所以■≤e＜1。
四、利用重要不等式
例4：设F1，Ｆ2分别为椭圆■+■＝１，（a＞b＞0）的两个焦点，若椭圆上存在点Ｐ，使得∠Ｆ１ＰＦ２=６0°，求椭圆离心率e的取值范围。
解：在△Ｆ１ＰＦ２中， 由余弦定理可得Ｆ■Ｆ２２＝ＰＦ１２＋ＰＦ２２－２ＰＦ１ＰＦ２cos60°
＝（ＰＦ１＋ＰＦ２２－３ＰＦ１ＰＦ２，又∵F1Ｆ２＝２c，ＰＦ１＋ＰＦ２＝２a
∴4c2=4a2-3ＰＦ1ＰＦ２，即∴ＰＦ１ＰＦ２＝■（4a■-4c■）≤■■＝a■即■（4a■-4c■）≤a■解得e≥■又e＜１，所以椭圆离心率的取值范围为■，１。
五、利用函数关系
例5：已知梯形ＡＢＣＤ中，ＡＢ ＝２ＣＤ。点Ｅ分■所成的比为?姿，双曲线过Ｃ，Ｄ，Ｅ三点，且以Ａ，Ｂ为焦点，当■≤?姿≤■时，求双曲线离心率的取值范围。
解：以ＡＢ为x轴，ＡＢ的中垂线为y轴，建立直角坐标系。
设Ａ（－c,0），Ｃ（■h），Ｅ(x0,y0)，由定比分点有x0＝■=■，y0=■。
设双曲线方程■-■＝１，（a＞０，b＞0），把点Ｃ，Ｅ坐标代入上式得■-■=1，■-■■=1
解得■（４－４?姿）＝１＋２?姿。即e２＝■＝２－■，（■≤?姿≤■）。
e2是?姿的函数，且为增函数。解得7≤e2≤10，即双曲线离心率e的取值范围为■，■。
六、利用数形结合
例6：双曲线方程■-■＝１，（a＞０，b＞０）的右焦点为Ｆ，过Ｆ作一，三象限渐近线的垂线l，与双曲线的两支各有一个交点，求双曲线离心率e的取值范围。
解：设渐近线分别为l1和l2，其斜率分别为k1，k2，则k1=■，k2=-■，l的斜率为k=-■，要使与双曲线的两支各有一个交点，只需k＞k2。即-■＞■，所以a2＜c2-a2，即e＞■。
以上介绍了确定圆锥曲线离心率的取值范围的几种思路和方法，希望能给读者一些帮助。
（责编 张宇）
