圆锥曲线中点弦方程求法新探|圆锥曲线中点弦公式
时间:2019-01-30 03:22:51 来源:雅意学习网 本文已影响 人
摘 要:研究者通过对偏对称式的研究,给出圆锥曲线中点弦的一种新求法。 关键词:偏对称式;圆锥曲线;中点弦 一、定义
设P(x0,y0)为圆锥曲线ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0上一点,则过 P的切线方程为:
axx0+b +cyy0+d +e +f=0――(*)
把(*)式和ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0比较,得到定义。
定义:我们把 称为x的偏对称式,xx0称为x2的偏对称式。
二、发现问题
例1.已知椭圆方程4(x-3)2+9(y-2)2=36,试求以P(2,3)为中点的弦的方程。
解:P(2,3)为椭圆内一点,所以过P(2,3)的中点弦方程存在,又点P不在坐标轴上,因此斜率存在。设此弦所在直线方程为l:y-3=m(x-2),代入4(x-3)2+9(y-2)2=36,
得4(x-3)2+9(mx-2m+1)2=36。
?圯(4+9m2)x2-2(18m2-9m+12)x+36m2-36m=0。
因为P(2,3)为中点,所以 ・ =2?圯m= 。
此弦的方程式为4x-9y+19=0。
注:4(x-3)2+9(y-2)2=13的偏对称式为4(x-3)(x0-3)+9(y-2)(y0-2)=13。
将(x0,y0)=(2,3)代入得4x-9y+19=0。
从上例我们发现:求得的中点弦方程与代入另一常数项的椭圆的偏对称式一样,于是我对此产生了怀疑,此结果是巧合还是真的都如此。因此,我展开了探讨。
三、探究问题
定理:直线l交圆锥曲线ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0于A,B两点,若M(x0,y0)为线段AB的中点,则l的方程为:
axx0+b +cyy0+d +e =ax02+bx0y0+cy02+dx0+ey0。
证明:设圆锥曲线上两点A(x1,y1),B(x2,y2),则
ax22+bx2y2+cy22+dx2+ey2+f=0――①,
ax12+bx1y1+cy12+dx1+ey1+f=0――②
由①-②得:
a(x2-x1)(x2+x1)+b(x2y2-x1y1)+c(y2-y1)(y2+y1)+d(x2-x1)+e(y2-y1)=0。
因为x2+x1=2x0,y2+y1=2y0,
x2y2-x1y1= =y0(x2-x1)+x0(y2-y1),
所以2ax0(x2-x1)+by0(x2-x1)+bx0(y2-y1)+2cy0(y2-y1)+d(x2-x1)+e(y2-y1)=0。
两边同时除以x2-x1(x2≠x1),并记kAB= ,则有
2ax0+by0+bx0kAB+2cy0kAB+d+ekAB=0?圯kAB=- 。
所以l的方程为y-y0=- (x-x0)。
化简(y-y0)(2cy0+bx0+e)=-(x-x0)(2ax0+by0+d)。
左右展开,合并即得:
axx0+b +cyy0+d +e =ax02+bx0y0+cy02+dx0+ey0。
四、结果和应用
由以上定理可知,在求圆锥曲线中点弦方程时,只需把中点坐标(x0,y0)代入圆锥曲线方程求出其值,并把它作为此圆锥曲线的偏对称式右边的值,那么就得到了以(x0,y0)为中点的弦所在直线的方程。下面我们用以上结论解题。
例2.已知椭圆方程4(x-3)2+9(y-2)2=36,试求以P(2,3)为中点的弦的方程。
解:把中点(x0,y0)=(2,3)代入4(x-3)2+9(y-2)2得到的值为13,
所以4(x-3)2+9(y-2)2=36的偏对称式为4(x-3)(x0-3)+9(y-2)(y0-2)=36。
故所求直线方程为4(x-3)(x0-3)+9(y-2)(y0-2)=13,即4x-9y+19=0。
例3.求过点M(3,-1)且被点M平分的双曲线 -y2=1的弦所在的直线方程。
解:把中点(x0,y0)=(3,-1)代入 -y2得到的值为 ,
因为 -y2=1的偏对称式为 -yy0=1,
故所求直线方程为 -y×(-1)= ,即3x+4y-5=0。
参考文献:
[1]国立编译馆(民83).高中理科数学(上).国立:国立编译馆.
[2]国立编译馆(民84).高中基础数学(三).台北:国立编译馆.
[3]杨健民.公平原理在中点弦方程式的应用.
(作者单位 湖北省恩施市来凤县第一中学)