关于一道数学竞赛题的解法探讨:数学竞赛题

时间：2018-12-25 03:27:27　来源：雅意学习网本文已影响人

　　摘要：本文对江苏省普通高等学校第六届高等数学竞赛中一道试题的解法进行了探讨，分析了原有解法的不足，并且给出了另一种解法。　　关键词：积分中值定理改进的积分中值定理微分中值定理
　　
　　一、素材
　　
　　由东南大学出版社于2008年年初出版的《高等数学竞赛题解析》［１］对江苏省普通高校非理科专业第六届（2002年）高等数学竞赛试题的第三大题给出了两种不同的解法，笔者对其中的方法1持有一些看法，并对此进行了探讨。现将该试题及解题方法1摘录如下：
　　设f(x)在［a，b］上连续，?蘩 f(x)dx=?蘩 f(x)edx=0，求证：f(x)在(a，b)内至少有两个零点［１］。
　　解析:(方法1)令F(x)=?蘩 f(t)dt(a≤x≤b)，则F(a)=F(b)=0，
　　且F′(x)=f(x)。
　　应用分部积分和积分中值定理，有
　　?蘩 f(x)edx=?蘩 edF(x)=eF(x)｜-?蘩 F(x)edx=0-F(c)e(b-a)……(*)
　　这里c∈(a，b)，于是F(c)=0。
　　分别在［a，c］，［c，b］上应用罗尔定理得：?埚ξ ∈(a，c)，?埚ξ ∈(c，b)，使得F′(ξ )=F′(ξ )=0。
　　即f(ξ )=f(ξ )=0。
　　于是，f(x)在(a，b)内至少有两个零点。
　　
　　二、评析
　　
　　上面的证法并无不当，只是在文字叙述“应用分部积分和积分中值定理”上略欠妥。
　　众所周知，积分中值定理［2］［3］［4］的表达形式如下：
　　设f(x)在［a，b］上连续，则在积分区间［a，b］上至少存在一点ξ，使得
　　?蘩 f(x)dx=f(ξ)(b-a)(a≤ξ≤b)。
　　由此可见，在以上的（*）式中，根据积分中值定理无法得到F（c）=0，c∈(a，b)。而使用改进的积分中值定理可以实现这一目的。改进的积分中值定理［2］如下：
　　设f(x)在［a，b］上连续，则在开区间(a，b)内至少存在一点ξ，使得
　　?蘩 f(x)dx=f(ξ)(b-a) (a＜ξ＜b)。
　　于是，根据改进的积分中值定理，由以上的(*)式，可以得到F(c)=0，c∈(a，b)。也就是说，如果将文字叙述“应用分部积分和积分中值定理”改述为“应用分部积分和改进的积分中值定理”后，例题的解法（1）是正确的。
　　
　　三、试题的新证法
　　
　　除了文献［１］所提供的两种证法以外，我们也可以考虑用微分中值定理来证明本题，而且证明的过程简洁明分别在［a，c］，［c，b］上应用罗尔定理得：?埚ξ ∈(a，c)，?埚ξ ∈(c，b)，使得F′(ξ )=F′(ξ )=0。
　　即f(ξ )=f(ξ )=0。
　　于是，f(x)在(a，b)内至少有两个零点。
　　
　　参考文献：
　　［1］陈仲.高等数学竞赛题解析［M］.东南大学出版社，2008.
　　［2］同济大学应用数学系.高等数学(第五版)［M］.高等教育出版社，2002.
　　［3］吴建成.高等数学［M］.高等教育出版社，2005.
　　［4］王绵森马知恩.工科数学分析基础［M］.高等教育出版社，1998.
　　
　　注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
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