[动量定理在动量守恒类问题中的应用]动量定理证明动量守恒

时间：2019-02-02 03:19:46　来源：雅意学习网本文已影响人

　　在学习了动量守恒定律后，学生能够对相互作用的物体间动量变化的问题用动量守恒定律去解决。由于动量守恒定律只关注系统在作用前后的动量和守恒条件是否满足，而不去研究具体作用的细节，省去了许多过程的研究，给解决问题带来了方便。但不少学生由于思维定势的影响，也由于对动量定理的理解不透，认为动量定理只能应用于单个物体在受力作用后动量的变化，而不能应用在相互作用的多个物体组成的系统，使得这些学生只会用动量守恒定律，而不会用动量定理来解决问题。实际上，动量定理也适用于多个物体组成的系统，而且系统动量守恒不守恒，都能用动量定理解决问题。在系统动量守恒的条件下既可以用动量守恒定律也可用动量定理来解决问题。�
　　例1 如图1示，质量为m的钢板与直立弹簧的上端连接，弹簧下端固定在地上。钢板处于平衡状态。一质量也为m的物块从钢板正上方距离为h的A处自由下落，打在钢板上并立即与钢板一起向下运动，求此时二者一起运动的速度。�
　　本题一般的解法是先根据自由落体规律或机械能守恒定律求出A自由下落h时的速度v：�
　　v=2gh�
　　再将A、B看成一个系统，由于A与B碰撞时间极短，A、B相互作用力很大，认为A、B在作用前后动量守恒。�
　　这样，对A、B组成的系统用动量守恒定律，得mv=2mv′�
　　v′=12v=122gh。�
　　我们也可对A、B组成的系统用动量定理。将A开始下落直至粘合在一起以v′共同运动视为一个运动过程，B在A下落过程中合力的冲量为零，A下落时外力的冲量仅有重力的冲量，这也是系统在A下落时受的冲量，用动量定理对该系统有：�
　　2mv′-0=mgt�
　　根据自由落体规律有：t=2hg得：�
　　2mv′=mg2hg�
　　v′=122gh�
　　结果与第一种方法一致。但无疑对动量定理的理解更深刻了。�
　　例2 如图2，人和冰车的总质量为M，另有一木球质量为m，M：m=31：2。人坐在静止于水平冰面的冰车上，以速度v（相对于地面）将原来静止的木球沿冰面推向正前方的固定挡板。球与冰面、车与冰面的摩擦及空气阻力均可忽略不计，设球与挡板碰撞后反弹速率与碰撞前速率相等，人接住球后再以同样的速度（相对于地面）将球沿冰面向正前方向推向挡板，求人推多少次后才不再能接到球。�
　　本题一般的解法是用动量守恒定律。设人第一次、第二次……第n次推球后人车的速度为v1、v2……vn，按动量守恒定律有：�
　　第一次推：Mv1=mv,v1=mvM，�
　　第二次推：Mv1+mv=Mv2-mv,v2=3mvM，�
　　第三次推：v3=5mvM�
　　……�
　　第n次推：vn=(2n-1)mvM�
　　当vn≥v时接不到球：(2n-1)mv/M≥v�
　　得n≥33/4，所以接9次后再抛就接不到球。
　　本题若用动量定理，将人、车、球视为一个系统，系统的动量变化是挡板对球作用力的冲量造成的。挡板每次对球的冲量大小为2mv，方向向右。设人推球的次数为n，按动量定理有：�
　　2nmv=(M+m)vn�
　　人不能接到球的条件是vn≥v，得n≥33/4，所以接了9次后再抛出就不能接到球。�
　　例3 在纳米技术中需要移动式修补原子，必须使在不停地做热运动的原子几乎静止下来且能在一个小的空间区域内停留一段时间。为此华裔诺贝尔物理奖得主朱棣文发明了“激光致冷”技术。若把原子和入射光子看成两个小球，则“激光致冷”与下述力学模型类似。一质量为M的小球A以速度v0水平向右运动，如图3所示。一个动量大小为p的小球B水平向左射向小球A并与之发生碰撞。当两球形变量最大时，形变量突然被锁定一段时间ΔT，然后突然解除锁定使小球B以大小相同的动量p水平向右弹出。紧接着小球B再次以大小为p的动量水平向左射向小球A，如此不断重复上述过程，小球B每次射入时动量大小为p，弹出时动量大小仍为p，最终小球A将停止运动。设地面光滑，除锁定时间ΔT外，其他时间均可不计，求从小球B第一次入射开始到小球A停止运动所经历的时间。�
　　
　　本题常用的方法是对每一次碰撞用动量守恒定律。设每次小球B射入后再射出时，小球A的速度依次为v1、v2、v3……v�n-1�、0�
　　由动量守恒定理得：�
　　Mv0-p=Mv1+p�
　　Mv1-p=Mv2+p�
　　Mv2-p=Mv3+p�
　　……�
　　Mv�n-1�-p=0+p�
　　等式两边相加得：Mv0-np=np�
　　则n=Mv02p�
　　总时间Δt=nΔT=Mv02pΔT�
　　上述方法显得繁锁。�
　　若用动量定理，可认为A球的动量变化是B球对它的冲量造成的。每一次碰撞，由于小球B的动量变化大小为2p，故小球B对A的冲量大小也为2p，n次碰撞后B对A的冲量大小为2np，由动量定理有：�
　　2np=Mv0�
　　得出n=Mv02p，同样有总时间Δt=nΔT=Mv02pΔT�
　　以上三例说明动量定理不仅可以解决单个物体的动量变化问题，也可应用于相互作用的一个系统。在多次碰撞的情况下（如例2、例3），应用动量定理来解决问题更为方便简捷。
　　
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