[数列求和题易错点逐步看] 数列易错题

时间：2020-02-23 07:28:27　来源：雅意学习网本文已影响人

　　首先，让我们明确什么是运用错位相减法对数列求和：　　若数列的通项公式，其中是一个等差数列，是一个等比数列，并且要求等比数列的公比。求和时一般可在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比，然后再将所得新和式与原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和。这种方法叫错位相减法。
　　运用错位相减法进行数列求和这一过程对大多数同学来说都非常熟悉。但在做这类题型时出错率非常高，当然这与运算量大有关系，也与其中几个关键步骤处理的好坏存在着直接的关系。下面举一个例子来剖析可能出现的错误。
　　例设为非零实数，
　　(I)写出并判断是否为等比数列。若是，给出证明；若不是，说明理由；
　　(II)设，求数列的前n项和。
　　解析：（I）这里我们对该题的第一问不做过多剖析，其实思路很简单，就是由已知条件得出，从中猜想出规律，然后按照所得规律重新给出的表达式，进而得到通项公式，最后通过通项公式对数列做出判断。解法如下：
　　由已知条件可知：。
　　于是有：
　　∴ ，故有：
　　因为为非零常数，所以是以为首项，为公比的等比数列。
　　故
　　(II)因为，故
　　数列是由两数列与相应项的积构成的，而数列就是一个等差数列，而数列是一个什么样的数列就不一定了，需要对其讨论。但是，数列在对其加以约束即后，是可以成为等比数列的。在这一约束下，数列就具备了条件，可以运用错位相减法对数列
　　求其前项和。于是有：
　　当时，
　　易错点一：当时，数列是一个常数数列：0、0、0、0……，此时，数列也为：1、0、0、0……，故。许多同学把这种情况漏掉，也就是不讨论当时的前项和为，这就造成最后所求结果不全面的错误。
　　当时，
　　①
　　②
　　易错点二：从上面的解答过程，我们看到，在讨论完的情况后，接下来应该是的情况。此时，许多同学就认为数列一定是一个等比数列，就可以放心用错位相减法对数列求前项和了。但是，错位相减法中对其中的等比数列是要求其公比的，而该题中在时，等比数列的公比为，这就要对公比分与两种情况进行讨论，否则就违背了错位相减法的解题要求。该题在题设条件中已经点明“ 为非零实数”，可以不用分类讨论，但我们平时训练这类题型时不能忽视这一点。
　　①-②可得：
　　
　　方程两边除以化简可得：
　　综上，数列的前项和：
　　当时，
　　当时，
　　易错点三：这最后一步的常见错误就应该是运算的问题。在进行完错位相减后，就要对其中的一个等比数列进行求前项和的运算，接着要把等式左边的除过来。最为常见的错误就是忘记把等式左边的除过来，不要小看这一点，笔者在多年的教学中经常见到这样的错误发生。以上是连续几步的运算。这道题最后的这几步运算还不算太复杂，但是，其它的题就不一定是如此简单。总之，这连续的几步运算，一定要细心，切不可麻痹大意，稍有不慎就会造成前功尽弃的后果。
　　责任编辑李婷婷
　　
　　

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