[小数是特殊的分数吗?]分数的概念

时间：2019-04-13 03:19:03　来源：雅意学习网本文已影响人

　　一、引言：小数是特殊的分数吗？　　在一个小学数学教师的交流群里，有一个帖子引发了不少小学教师的讨论。这个帖子是“课本上说小数是一种特殊的分数，既然小学已经系统地学习了分数，那么，将小数问题转化为分数问题来处理就行了，为什么还要学习小数呢？”教师中主要有两种观点：一种观点是，小数是一种特殊的分数，在日常生活中有广泛的运用，系统地学习一下是有必要的；另一种观点是，小数不是特殊的分数，它是独立于整数和分数之外的第三种数，它的意义和运算与整数和分数都有较大差异，因而需要专门学习。
　　小数是一种特殊的分数吗？笔者带着疑问查阅了一些相关书籍，得到比较有代表性的的答案是：人们为了应用上的方便，把十进分数改写成不带分母的形式，并且按照十进制的进位原则把个位右边的第1位、第2位、第3位、……分别表示十分位（计数单位是）、百分位（计数单位是）、千分位（计数单位是）、……并在个位和十分位之间加一个标记“．”，这样十进分数就可以写成与整数相仿的形式。比如，3=3++=3.24。像3.24这样不带分母，按照十进制的位制原则写出来的十进分数叫做十进小数，简称小数。［1］
　　同时，笔者还查阅了现行人教版、北师大版、苏教版和北京版的小学数学教科书。遗憾的是，这些教科书都没有明确给出小数的定义，而仅仅是一种描述性说明。有意思的是，这些说明几乎相同，其中比较有代表性的是这样的：［2］
　　首先给出一些具体的生活实例，把1米平均分成10份，一份是1分米，也就是米，可以表示成0.1米，三份是3分米，也就是米，可以表示成0.3米，……把1米平均分成100份，一份是1厘米，也就是米，可以表示成0.01米，三份是3厘米，也就是米，可以表示成0.03米，……
　　然后给出小数的描述性意义：“分母是10、100、1000……的分数可以用小数表示。小数的计数单位是十分之一、百分之一、千分之一……分别写作0.1、0.01、0.001……相邻计数单位之间的进率是10。”
　　由此，似乎可以认为：小数就是不带分母的十进分数，小数是一种特殊的分数。现行课程标准和各版本的小学数学教科书也正基于此，在学习小数的意义之前，简单学习一下分数的意义。课标制定者和教科书编写者们似乎认为，有了分数的一般意义做基础，学生似乎更容易理解小数的意义。
　　然而，情况果真如此吗？笔者听了一节四年级“小数的意义”的新授课，发现学生学习的实际情况并非如此。教师将一张纸条平均分成10份，取出一份用分数表示是，写成小数是 0.1；取出两份用分数表示是，写成小数是 0.2，学生很容易就认可了这一点。可当教师给学生一张空白纸片，让学生画出自己喜欢的小数时，问题就出现了。一些学生将纸片平均分成6份，选择一份涂上颜色，用分数表示是，用小数表示还是0.1或者不写小数。笔者问了一个不写小数的学生，他回答道：“如果＝0.1，＝0.1，就会出现＝，这与原来学过的＞矛盾。”
　　这个案例在一定程度上说明，从分数入手认识小数，教学效果并不理想。原因是多方面的，除了教师和学生方面的人为因素外，我们还需要思考知识本身的原因，即像课本上这样认识小数的意义是否恰当，是否符合数学逻辑，是否揭示了小数的真实意义。
　　不难发现，按照这种观点描述的仅仅是有限小数，仅仅是我们观念中的小数的一部分。除了有限小数外，还有很多无限小数（高等数学中还可以证明，无限小数个数远远多于有限小数的个数），像0.333…、圆周率π等都是无限小数。而0.333…=不是由十进分数改写的，而π是一个无理数，更不能用分数表示。
　　由此可见，小数并非一种特殊的分数。上述资料和教科书对小数的认识是存在缺陷的，这或许是导致学生学习小数时出现上述问题的原因之一。因此，为了让学生顺利学习和更深刻地理解小数的意义，我们需要从数学上真正认识小数的意义，并由此科学地设计和实施“小数意义”的教学。
　　二、小数的意义
　　回顾一下小数的历史，将有助于我们更好地认识小数的数学本质。
　　（一）小数的历史
　　在人类历史上，认识和使用小数比分数晚得多，最早认识小数的是我国魏晋时期的数学家刘徽。公元3世纪，他在《九章算术注》的《少广章》中的“开方术”中说：“微数无名者以为分子，其一退以十为母，其再退以百为母，退之弥下，其分弥细，……”他的意思是说，“在开平方求无理根的近似值时，得到方根的整数值以后，继续依法开方求出微数”，这里的“微数”就是指小数。［3］
　　按照刘徽的注解，设被开方数为n，其平方根的整数部分为a，剩余部分为r，那么有=a. …r。继续求微数，以a1为第一个数字，就把它作为分子，以10做分母（“一退以十为母”），再求一次得到数字a2，把a2作为分子，以100做分母（“再退以百为母”）。依次求下去，比如第k次开尽，这样得到的分数++…+即为开得的小数部分，进而=a. a1a2…ak。
　　由于中国古代的计算依靠算筹来进行，所以小数只有文字表示。例如，用T寸＝1表示6.21寸。到了13世纪，元朝数学家刘瑾把小数部分降低一格，比如将61.62表示为┴1┴＝，这是世界上最早的小数表示法。
　　1585年，比利时工程师斯蒂文（S.Stevin）出版了小册子《十进小数》，比较系统地阐述了小数理论，并创建了一种表示小数的方法。他用小圆圈把整数部分与小数部分隔开，小数部分后面画一个小圆圈，在小圆圈内标记小数的位数，比如将23.86表示成23?专8①6②或者23?专8①6②。［4］
　　小数点的记号，也经历了比较复杂的过程。1530年，德国的数学家鲁尔多夫（C.Rudolff）用一根竖线将小数部分与整数部分隔开，比如他将23.86表示为23｜86。1614年，英国数学家纳皮尔（J.Napier）用逗号将小数部分与整数部分分开，比如23.86表示为23，86。1593年，德国数学家克拉维斯（C.Clavius）用“.”表示小数点，他是最早用小圆点表示小数点的人。

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