探求高考题中二面角的解题方法 求二面角的高考题
时间：2019-02-10 03:20:43 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
化学是一门实验科学,考查学生的实验能力就无疑处于重要的地位,高考化学实验题赋分较高(2010年占全卷分数20%),但它往往又是得分率较低的题目,因此化学实验能力能否提高,高三化学实验备考得成功与否,是高考能否制胜的关键之一。随着高考的临近,对实验备考策略的研究及应用就显得尤为重要。
一、温故知新――回顾近年实验
1.试题的形式
近几年高考试卷实验题呈现方式主要有两种,即第Ⅰ卷的选择题和第Ⅱ卷的综合实验题。其中第Ⅰ卷有两题,2009年的两个题目均要用化学1、选修4、选修5三个模块的知识来解答。
2.涉及的主干知识及特点
选择题两题,一题(单选、中等难度)以实验装置图判断等形式从基本实验事实或操作方面命题,另一题(双选、中等难度)从基本实验装置或操作方面命题。涉及的知识有:物质的分离,如萃取、溶解、过滤、蒸馏、分馏等;物质的鉴定和鉴别;离子的检验;溶液的配制(包含配制一定物质的量浓度溶液、一定质量分数溶液、FeCl类型考虑水解因素溶液);有机物制备装置(乙酸乙酯);气体的制备(NH)、干燥(HCl、Cl)、收集(NH)、吸收、提纯;装置的气密性检查;仪器的使用(容量瓶)、洗涤;药品的保存,等等。
第Ⅱ卷的综合实验题(中等难度)涉及知识为:物质的制备(条件、分离、绘图等)、定量测定有害离子含量(计算、仪器、误差、实验原理和技术)、环境污染测定(实验方案设计、实验探究、比色法)、饮用水的处理(测定离子含量、离子方程式、实验探究、计算等)等。这道题的最大特点是基于实际化工生产背景(真实情景),更好地体现了实验综合题考查的原则,即体现公平性、真实性、应用性、思维性与探究性。实验考查所涉及的领域主要是:化学的核心概念和基本原理的考查、化学对人类社会的贡献、体现应用、关注社会、关注生活、关注生产等实际应用的考查、对学生化学素养和化学学科能力的考查。
这些考查符合考纲要求学生“掌握化学实验的基本方法和技能”,注重化学实验的“科学性、可行性、简约性、安全性”,能力测试上“具有较强的问题意识,能够在给定情境中通过分析、判断提出有探究价值的化学问题的能力”,“能运用观察、实验、阅读资料等多种手段收集证据,能运用比较、分类、归纳、概括等方法形成探究结论”。
回顾近年高考试卷设题情况,可以帮助我们明确冲刺阶段应备考些什么。温故而知新,了解近年高考试卷,可以开拓我们的视野,使备考有所发现,有所进步。
二、高瞻远瞩――研读考试说明
高考《考试说明》是高考的指挥棒,我们应认真研读《考试说明》,吃透高考化学实验考查的精神实质,明确备考的目标和方向,以达到事半功倍的复习效果。把2010年“说明”上对实验的要求与2009年进行比较,找出改动、删减、增加部分,认真研读这些变化,尤其是典型题示例变化试卷,可以进一步参透考纲精神,可以进一步明确高考究竟考什么,可以在冲刺阶段摆正复习的主攻方向。
研读2010年的高考化学《考试说明》我们发现,与2009年的《考试说明》相比,实验部分的变化为以下几点:
1.把“了解控制实验条件的方法,能设计、评价和改进简单的实验方案”改为“了解控制实验条件的方法,能改进简单的实验方案”,去掉“设计、评价”四字。
2.增加“能综合运用化学实验原理和方法,设计实验方案解决简单的化学问题,能对实验方案、实验过程和实验结果进行分析和评价”。
3.化学实验分值由试卷的18%提高到20%。
调整和变化更加凸显了学科特色;体现了2010年说明中强调的江苏特色――“厚实践”(即加大实验和运用的考查),暗示了实验题量增大是趋势。要解读考纲,不能忽视典型题示例解析的导向功能,要对典型题示例认真解读,我们更要关注和研究作出这种调整是源于何种思想。
案例1:典型题示例示例4(题见2010年考试说明,下同),该题从物质的鉴别、溶液的配制、物质的提纯、胶体的丁达尔现象四个角度考查学生对化学实验的基础知识和基本技能的掌握程度,引导学生关注实验方案的可行性,考查学生运用化学实验方法解决实际问题的能力。我们就要解读出为什么关注这几个角度?为什么用“引导”这个词?为什么一直对溶液配制“情有独钟”?
案例2:典型题示例5(原题为2009江苏卷的第6题,需要更正的是《考试说明》上答案应为B),本题以溶液配制、准确体积标准溶液的量取、混合物的萃取分离、乙酸乙酯的制取中的实验操作为素材,考查学生对实验操作的熟悉程度和实验原理的应用能力,特别是“用量筒量取5.00mL1.00mol・L盐酸于50mL容量瓶中,加水稀释至刻度,可配制0.100mol・L盐酸”选项的判断,此题显然是试图引导中学化学教学关注化学实验操作的真实性。我们就要解读出为什么关注这几个角度?为什么用“特别”这个词?为什么强调真实性三个字?同样对于仍然保留的题型示例,我们也要分析其理由,如2005年实验题仍保留,应该说明它仍是一种方向。
三、厚积薄发――培养实战能力
古人读书讲究“厚积薄发”,实验备考也一样,没有“量”的积累,就很难求“质”的突破。要想高考实验得高分,掌握一定量的知识,并学会运用迁移很重要。
1.实验挖掘教材功能
备考过程中应悟透考点,复习到位。悟透考点,即要明确《考试说明》上实验部分的知识点,能力点及要求。复习到位,就是要参透所有考点,不遗漏任何一个考点,不留死角。教材是命题的基础,科学备考应回归教材,以本为纲。备考时要熟悉和理解新教材课本上的演示实验和学生实验(含选做)的原理、操作、现象、结论,并分析归纳实验原理、装置原理和操作原理上的共性和特性,掌握实验规律。如常见化学仪器的用途和使用方法,化学实验基本操作(药品取用,物质的溶解,试纸的使用,物质加热,药品存放,安全事故处理),混合物分离提纯(沉淀、过滤、洗涤、分液),物质的制备(药品、原理、步骤、收集,检验,装置,尾气处理等)和物质检验。实验仪器的作用(烧瓶与大试管),实验装置的组装(仪器组装注意:①防倒流;②防倒吸;③防暴沸;④防堵塞;⑤防潮解;⑥防氧化;⑦防对流;⑧防过分加热),实验操作的目的,药品的要求(如实验室制氨气等)。理解、掌握这些基本知识,并进行知识延伸。把教材实验内容的知识点、热点转变为探讨性的问题,编写导读提纲且指导学生进行设问、质疑、析疑、激思,来促进实验复习,同时通过典型实验把元素化合物及基本概念,基本理论的重点知识生长和连接起来,形成知识系统。
案例3.下图为模拟铁生锈的实验。铁粉中均匀混有少量碳粉,撒入在内壁已分别用氯化钠溶液和稀醋酸润湿过的甲、乙两支具支试管。打开止水夹片刻后,以下有关该实验的说法合理的是(?摇求二面角是高考题立体几何部分的重点和热点问题,它对学生的空间想象、推理论证、运算求解等基本能力进行了很好的考查。但因其抽象性、综合性和多变性,很多考生望而生畏。我省正处于传统教材与新课标教材交替之际,我结合自身教学实际,探求高考题中二面角的解题策略,供大家参考。
传统教材二面角的求法:①“一找二证三求”,找出这个二面角的平面角,然后证明我们找出来的这个角是要求的二面角的平面角,最后通过解三角形来求。②通过射影面积来求cosα=(在其中一个平面内找出一个三角形,然后找这个三角形在另外一个平面的射影,那么这个三角形的射影面积与原三角形面积之比即为cosα,注意到我们要求的角为α或π-α)。
本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文 新课标教材引入向量法求二面角:先求两个平面的法向量所成的角为α,那么这两个平面所成的二面角的平面角为α或π-α。
对于具体的一道高考题,究竟用哪一种方法好呢?我们先看一道高考题。
例1.(2009全国卷Ⅰ理科18题)如图,四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为矩形,SD⊥底面ABCD,AD=,DC=SD=2,点M在侧棱SC上,∠ABM=60°。
(Ⅰ)证明:M是侧棱SC的中点;
(Ⅱ)求二面角S-AM-B的大小。
证明:(Ⅰ)略。
解:(Ⅱ)方法一:利用二面角的定义找平面角。在等边三角形ABM中过点B作BF⊥AM交AM于点F,则点F为AM的中点,取SA的中点G,连GF,由于GF∥SM,因此GF⊥AM,则∠GFB即为所求二面角。在△GFB中,由余弦定理可求得∠GFB=π-arccos,即为二面角S-AM-B的大小。(画图略)
方法二:向量法。分别以直线DA、DC、DS为x、y、z轴,如图建立空间直角坐标系D-xyz,则A(,0,0),B(,2,0),C(0,0,2),S(0,0,2)。
可求得平面SAM、MAB的法向量分别为=(,1,1),=(,0,2)(求法向量过程略),
∴cos==,
则所求二面角的大小π-arccos。
仔细分析以上几种解法,不难发现:
1.方法一很简捷,但很多学生由于空间立体感不强,注意不到二面角的两个面三角形的特殊性,从而失去极佳的解题方法。这要求我们在平时教学中要提高学生对空间几何体的认识水平。
2.方法二容易操作,尤其是已知几何体中存在“三垂直”条件,比较容易建立坐标系,所需向量的坐标都好求,剩下的就是基本计算,最终把空间几何问题转化为代数问题,这也是新课标的基本要求,是发展趋势。
3.几何法与向量法各有利弊:几何法注重推理论证与空间想象,即难以确定解题思路,而解题过程相对简明;向量法恰恰降低了以上两点难度,起到研究几何图形的工具作用,从一个新的角度发展学生的空间想象力和几何直观能力,但是书写过程较多,要运用熟练节省考试时间,提高效率。
例2.(2008山东卷20题)如图,已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD为菱形,PA⊥平面ABCD,∠ABC=60°,E,F分别是BC, PC的中点。
(Ⅰ)证明:AE⊥PD;
(Ⅱ)若H为PD上的动点,EH与平面PAD所成最大角的正切值为,求二面角E-AF-C的余弦值。
证明:(Ⅰ)略。
解:(Ⅱ)可以证明,EH与平面PAD所成最大角的正切值为时,PA=AB(过程略),下面求二面角E-AF-C的余弦值。
方法一:因为PA⊥平面ABCD,PA?奂平面PAC,所以平面PAC⊥平面ABCD。过E作EO⊥AC于O,则EO⊥平面PAC,过O作OS⊥AF于S,连接ES,则∠ESO为二面角E-AF-C的平面角,在Rt△AOE中,EO=AE・sin30°=,AO=AE・cos30°=, 又F是PC的中点,在Rt△ASO中,SO=AO・sin45°=,又可求SE=,在Rt△ESO中,cos∠ESO==,即所求二面角的余弦值为。
方法二:由(Ⅰ)知直线AE,AD,AP两两垂直,以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,不妨设PA=2,又E、F分别为BC、PC的中点,所以A(0,0,0),B(,-1,0),C(C,1,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(,0,0),F(,,1),可求得平面AEF的一法向量为m=(0,2,-1)(求法向量过程略),因为BD⊥AC,BD⊥PA,PA∩AC=A,所以 BD⊥平面AFC,故 为平面AFC的另一法向量。又=(-,3,0),求得二面角的余弦值为。
对于解法一,由于二面角的棱不属于正常摆放,属于“斜放”,考生不易接受,往往找不出平面角,或把平面角找错。不仅浪费时间,丢掉分数,更重要的是丧失了解题信心,影响全局。但是如果用向量法,底面ABCD为菱形,不存在垂直关系,怎么建坐标系?仔细分析后发现,本题虽然底面ABCD为菱形,但里面隐含着“三垂直”,结合∠ABC=60°容易找到AE垂直AD。坐标系一经建立,其他问题便迎刃而解。这里提醒大家,我们要善于利用等腰三角形的中线、菱形的对角线等垂直关系。
现在我省正处于“传统大纲”指导下的高考命题和新课标教材引领下的课堂教学交替的当口,怎么应对这种局面值得我们思考。我认为,在重视传统求二面角方式,并对其适当改进和取舍的基础上,应向新课标方法靠拢。注意研究新课标课本对二面角的设置:人教A版在《数学2》“平面与平面垂直的判定”一节中,利用修筑水坝、发射卫星等实例,引出二面角的概念,并介绍了二面角平面角的概念,没有设计求二面角大小的例题、练习,只是在习题中设置了两道简单的以三棱锥、正方体为载体的求二面角大小的题目。二面角大小的计算主要安排在选修2-1的“空间向量与立体几何”中。由此不难预测,在不远的将来,向量法将成为新课标高考中求二面角的主要方法。这两年的高考命题也一定会向这个方向靠拢,设计出既可以用传统方法,又可以用向量方法来计算二面角的题型,因此学生在平时学习时要熟练掌握,如此在考场上才能灵活应对。
由于新课标突出了用向量来解决立体几何的有关问题,因此我建议解决高考题中二面角的问题,可以优先考虑建立坐标系,用向量来求二面角,但是当运用向量不是很方便,尤其是无法顺利建立坐标系的时候,传统的解法也要能够运用自如。
参考文献:
[1]邱云.二面角的教学困惑与研究.中学数学教学参考,2009年第12期上旬.)。
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