数学分析教学应注意的几点问题|数学分析中的典型问题与方法
时间：2019-01-15 03:28:33 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
摘要：成功的教学能收到事半功倍的效果；本文针对数学分析教学应注意的问题提出几点建议。 关键词：数学分析教学；数学思想方法；微积分发展史；数学美
收稿日期：2006―12―15
作者简介：赵淑波(1975―)，女，汉族，安达人，硕士研究生，讲师，主要研究方向泛涵分析和高等教育。
一、数学分析教学是渗透数学思想方法的教学
“没有思想的数学等于废了武功。”张奠宙在一篇文章中指出：“微积分教学应该怎样做呢？揭示数学的思想当然是第一位。”可见让更多的人知道和掌握数学分析的思想方法，成为当代数学分析教学的首要任务。数学思想与方法是统一的、不可分割的一个整体，统称为数学思想方法。数学分析的内容蕴涵丰富的数学思想方法。所谓数学分析思想方法是对数学分析所研究对象的统一的、本质的认识。数学分析的思想方法，一方面指数学分析自身的论证、运算以及应用的手段，另一方面还包括数学分析概念、理论、方法的产生及发展规律。学习基本的数学分析思想方法是形成和发展数学分析能力的基础。
在数学分析的教学中，我们习惯于按照定义――定理――推论――习题的逻辑顺序展开，学生只是被动地接受一个一个概念，却不知道为什么要这样做。优秀的学生要到后来才恍然大悟。一般的学生只能囫囵吞枣，不知所云。这充分说明了我们对于隐含在知识背后的思想方法的教学价值未能高度重视，也就是我们对数学思想方法的地位认识不够造成的。
实际上，数学思想方法在科学研究中具有举足轻重的地位和作用。在数学分析这样一门大学数学专业中的主干基础课中，要培养学生的数学意识，发展学生的数学思想，为该专业的研究和发展提供必要的数学思想方法和工具。从这个意义上讲，就有必要把数学思想方法作为重要的教学内容落实到数学分析教学的全过程之中。要通过教师坚持不懈地、有意识地、有目的启发诱导及反复渗透，进而使学生通过自己的思维活动去理解它、领悟它、掌握它。
在数学分析的教学中可以适时地渗透数学思想方法。可以在讲解新课中指出，也可以在复习旧知识中强调。数学分析的思想处处可以挖掘，比如数学分析的研究对象――函数，其概念本身则是以“静”刻划“动”，以“定”描述“变”：一个数x，唯一的一个数y均是定值，但是，此是定义域中的任一个值，这就变了，动了，因而对应的也随之而变了、动了。数学分析的研究工具――极限的“ε-δ”定义：给定ε＞0，则此ε是定的，但此ε是任意给定的，这即是变了。当然，相应的δ也随之而变。微积分的核心概念――导数与积分，是用极限定义的，固然也是“变量的静态理论”的范畴内的了。此理论的思想早在我国古代与古希腊就有了，如我国古代名家惠施的“飞鸟之影未尝动也”，古希腊之诺的“飞箭不动说”，就是例证。还比如：极限思想方法贯穿于数学分析学习的始终，它向我们呈现出从有限过程中研究无限过程的对立统一的思维方法。再比如，各种类型的积分的计算，实质上是数学中的化归思想，即对复杂的积分的计算通过变换转化为基本的积分进行计算。这些重要的理论思想都可以融于教学之中适时地以知识为载体向学生传播。当然开展数学思想方法的教学可能有一些困难，比如，时间紧，教学内容多，学生不易接受。但重在教师有意识的点拨与渗透。
知识的记忆是短暂的，方法和思想的掌握是长远的。知识使学生受益于一时，可方法和思想使学生受益于终生。真所谓“剑招可以生疏，剑法不能忘记”。
二、数学分析的教学是伴随传播微积分发展史的教学，微积分学是数学分析的核心，所以搞好数学分析的教学也就是抓好微积分的教学
谈起微积分学，给人的印象是干巴巴的。概念、定理、公式，记忆再记忆;例题、习题、考题，练习再练习。其实，我们恰恰忽略了一个重要的问题，那就是微积分学是人做出来的，必然有人的思想、情绪、感觉、文化、历史传统在起作用。如果看不到这一点的话，光彩照人的数学分析呈现给我们的只是一副骨架。那么如何使这些“枯燥”的知识富有活气呢？微积分学发展史的传授正是给骨架赋予肉体，让它拥有活气。牛顿――人类经典物理学大师，他的名言、煮手表的故事如果出现在教学中，我想你的学生肯定不会困倦了，取而代之的是振奋。同时学生们一定会对如何做学问、做人有所感悟，虽然可能对有些同学的影响是短暂的，但我们可以坚持不懈地渗透，所谓近朱者赤，近墨者黑也。
讲授发展史能使学生了解过去，是为了创造、把握未来，知其然，知其所以然。领略到微积分的产生是数学上的伟大创造，它从生产技术和理论科学的需要中产生，又反过来广泛影响着生产技术和科学的发展。众所周知的积分概念是由求某些面积、体积和弧长引起的，微分是联系到对曲线作切线的问题和函数的极大值、极小值问题而产生的。导数概念被用在经济管理方面，产生了两个极为有用的量：边际函数和弹性，给科学增添了丰富内涵。诸如此类知识的教学引入会使学生们体会到微积分就在我们的身边，它不再抽象、孤立和遥不可及。
同样微积分发展史的教学可以引导学生不仅看到简单到复杂，而且从中听到人类文明的脚步声，从过去走到今天，从低级走向高级，从有限走向无限。
让我们领略一下中国古代数学对微积分创立的贡献，更能激发我们的民族自豪感。在微积分产生三个阶段中的前两阶段――极限概念和求积的无限小方法，中国毫不逊色于西方。微积分思想在古代中国早有萌芽，甚至是古希腊数学不能比拟的。公元前7世纪庄子哲学中就有无限不可分和极限的思想，公元前3世纪《墨经》中有了有穷、无穷、无限小、无穷大的定义和极限、瞬时等概念。刘徽公元263年首创的“割圆术”求圆的面积和方锥的体积，它的极限思想和无穷小方法，是世界古代极限思想的深刻体现。还有很多很多的故事都可以有步骤地进入到学生的脑中，了解这些文化知识非但不能耽误我们学生的学习，反而能给学生的学习增加源动力。“砍柴不计磨刀功”。这些数学史的教育可以改变他们对数学分析的态度，使数学分析成为他们的知己和好朋友，受用一生。数学史的传授可以在课堂中，也可以开专题讲座。我在上大学时我的老师就是这样做的，给我们讲了很多数学家的逸事，使我对数学分析有了更深的理解，因而现在我把这种思想传给我的学生。
三、数学分析的教学是洋溢着数学美的教学，在教学中向学生展示微积分的美，师生共赏数学之美对提高教学质量将是十分有效的
学生们只有认为它是美的，看到它的光环所在，才能喜爱它。正如爱一件物品一样，你认为它是美的才喜爱它，对它有兴趣，而兴趣是最好的老师。正如林群院士在两会期间就科技创新问题接受记者采访时说：“科学创新的必要条件之一是科学家的兴趣。”“指引科学家产生大兴趣还是小兴趣，是从全局考虑还是从细节考虑，是非常重要的。”基于兴趣的重要性，就必须使学生看到数学分析的美。
其实数学的美无处不在，数字美，“一去二三里，烟村四五家，亭台六七座，八九十枝花。”数学公式美，数学思想美，数学语言美。1976年，英国一位著名数学家在就任伦敦数学会主席演讲时说：数学的目的，就是用简单而基本的词汇去尽可能多地解释世界。如果我们积累起来的经验要一代一代传下去的话，我们就必须不断地努力把它们加以简化和统一。过去曾经使成年人感到困惑的问题，在今后的年代里，连孩子们都能容易地理解。这充分体现了数学语言的魅力所在。再看看数学分析的极限，体现了意境美。极限是一个无限的过程，描写极限的文化很多。庄周所著的《庄子》一书中的《天下篇》中，写道“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”三国时期的刘徽在他的《割圆术》中提出“割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣。”这些都是反映极限思想的佳作。唐代大诗人李白的诗句“孤帆远影碧空尽，唯见长江天际流。”远望那逐渐消逝在碧色天边的孤独的帆影，只有不尽的滚滚长江向东流去。一个“不尽”惟妙惟肖地描写了极限的动态过程。抽象的极限在这里具体生动起来，极限的动态美也使人真正的体会到了。还有诗句“飞流直下三千尺，疑是银河落九天”等。
无界也是相对来说比较抽象的概念，可诗句“春色满园关不住，一枝红杏出墙来”，生动且贴切地描述了无界变化的状态，无论园子多大，红杏都会出墙，至少有一枝。“四海无闲田，农夫犹饿死”，不管地种得多么多，至少还有一个农夫被饿死。数学分析的和谐、统一美需要细细体会。牛顿――莱布尼茨公式，��b�af(x)dx=F(b)-F(a),其中f(x)定义［a,b］在上，F(x)是f(x)的一个原函数，也称为微积分的基本定理。将表面上看起来毫无关系的微分和积分之间建起了一座桥梁，将积分的问题转化为求导的逆运算，巧妙地将对立的微分和积分统一起来，可谓“一桥飞架南北，天堑变通途”。数学分析中的微分中值定理，f(b)-f(a)=f′(ζ)(b-a)是一个连接局部性质和整体性质的桥梁。这个定理的左边是整体性的，由区间［a,b］的端点所决定，右边则是局部性的，由区间［a,b］内某点处的导数（局部性）所决定。每一个学习微积分的人，如果不能欣赏这样的美，等于进了宝山之后却空手而归。数学分析的美还不只于此。课堂上如果能使学生体味到美的感觉，我想他们肯定不会倦怠，甚至是睡觉或逃课。
参考文献：
〔1〕张奠宙.微积分教学.从冰冷的美丽到火热的思考.高等教学研究，2006.2.
