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    求二\三阶矩阵逆矩阵的记忆口诀 二阶矩阵的逆矩阵口诀

    时间:2019-01-11 03:22:17 来源:雅意学习网 本文已影响 雅意学习网手机站

      摘 要: 本文通过研究二阶、三阶矩阵的逆矩阵,给出了二阶、三阶逆矩阵的记忆口诀.通过这个口诀学生可以快速计算出二阶、三阶矩阵的逆矩阵.这对准备考研的理科学生有很大的参考价值.
      关键词: 二阶矩阵 三阶矩阵 记忆口诀 逆矩阵
      
      1.问题提出及准备知识
      在各类理工科数学考试题目中均有求矩阵逆矩阵的题目,这个题目虽然简单,但是要按照课本上给出的方法计算的话,要费一些时间,更可怕的是,计算过程中难免有失误,容易造成结果出错.
      我们研究了一些考试试卷,发现大部分求逆矩阵的题目都是求二阶或者三阶矩阵的逆矩阵.针对此,我们给出了相应的记忆口诀,按照这记忆口诀学生可以快速计算出矩阵的逆矩阵.
      首先给出一些准备知识.本文所用的其他概念和符号请参考文献[1].
      定义1.1[1]对于阶方阵,如果有一个阶方阵,使
      AB=BA=E,
      则称A是可逆的,并把方阵B称为A的逆矩阵,记为A.
      定义1.2[1]阶行列式|A|的各个元的代数余子式所构成的如下矩阵
      A*=A A … AA A … A… ……A A … A,
      称为矩阵A的伴随矩阵.
      引理1.3[1]方阵A可逆的充分必要条件是|A|≠0,且当A可逆时,A=A,其中A是A的伴随矩阵.
      2.二阶矩阵的逆矩阵记忆口诀
      按照引理1.3我们得到下列结论.
      结论2.1 设A=a bc d,a,b,c,d∈R,且A可逆,那么Ad -b-c a,所以
      A=d -b-c a(2.1)
      由以上结论我们可以得到记忆口诀:主对调,次变号,除行列.
      具体含义是主对角线上的两个元素对换位置,次对角线上的每个元仅仅增加一个负号,然后除以矩阵的行列式.
      3.三阶矩阵的逆矩阵记忆口诀
      对于三阶矩阵,按照引理1.3我们得到下列结论.
      结论3.1 设A=a b cd e fg h i,A∈R,且A可逆,那么:
      A=ei-hf -(bi-hc)bf-cefg-id -(cg-ia) cd-afdh-ge-(ah-gb) ae-bd(3.1)
      先分析公式(3.1)中矩阵的第一列,研究如下表格.
      可以看出公式(3.1)中包含的矩阵的第一列恰好是表3.1中所有元素的组合,组合规律(称为231312规律)如下:
      (1)第一行的第二、三、一列分别乘以第二行的第三、一、二列得到ei,fg,dh.
      (2)第二行的第二、三、一列分别乘以第一行的第三、一、二列得到hf,id,ge.
      (3)由(1)中所得到的数据减去(2)中所对应的数据,就得到公式(3.1)中矩阵所对应的第一列.
      同样的道理,可以分析公式(3.1)中包含的矩阵的第二和第三列.
      由此,得到记忆口诀:除行列,别忘记,去一行,得一列,二变号,余不变,二三一,三一二,二三一,三一二.
      解释如下:
      去一行,得一列的含义是去掉矩阵的某一行,能够得到矩阵剩余的两行,由此可以列成表(3.1)的样子,从而得到公式(3.1)中的某一列.
      二变号,余不变的意思是公式(3.1)中包含的矩阵的第二列是按照231312规律得到的数字后再加上一个负号得到的,其余各列不需要加负号.
      例题3.1 计算A=3 7 -3-2 -5 2-4 -10 3的逆矩阵.
      解:通过简单计算可以得到|A|=1.
      按照231312规律得到:
      A=(-5)・3-(-10)・2 -[7.3-(-10)・(-3)] 7・2-(-5)・(-3)2・(-4)-3・(-2) -[(-3)・(-4)-3・3] (-3)・(-2)-2・3(-2)・(-10)-(-4)・(-5)-[3・(-10)-(-4)・7] 3・(-5)-2・7=5 9 -1-2-3 00 2 -1.
      参考文献:
      [1]吴传生主编.经济数学――线性代数(第二版)[M].高等教育出版社.
      
      重庆三峡学院青年项目(编号:10QN-28),重庆市科委项目(编号:CSTC,2010BB0314)。
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