[函数单调性的应用]函数单调性的实际应用
时间：2019-01-10 03:23:12 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
灵活运用函数单调性定义，充分发挥它的功能可以解决许多问题，下面举例说明. 一、证明函数单调性 例1.用单调性定义证明函数f（x）=-x+1在R上是减函数.
解析：任取x，x∈（-∞，+∞）且x＜x则
f（x）-f（x）=-x+1+x-1
=（x-x）（x+xx+x）
∵x＜x?摇?摇∴x-x＜0
当xx＜0时，x+xx+x=（x+x）-xx＞0
当xx≥0时，x+xx+x＞0
∴f（x）-f（x）＜0?圯f（x）＜f（x）
∴f（x）=-x+1在R上是减函数.
二、求单调区间
例2.求函数y=log（x+3x-10）的单调区间.
解析：由x+3x-10＞0?圯x＜-5或x＞2
令y=logu，u=x+3x-10=（x+）-12
当x∈（-∞，-5）时，x?邙?圯u?邬?圯y?邙
当x∈（2，+∞）时，x?邙?圯u?邙?圯y?邬
∴函数的单调性区间是（-∞，-5），单调区间为（2，+∞）.
三、比较大小
例3：已知偶函数f（x）在［1，4］上单调递减，试比较f（log8）与f（3）的大小.
解析：f（log8）=f（3）?摇?摇 f（3）=f（）
∵f（x）是偶函数∴f（-3）=f（3）
而1＜＜3，由f（x）在［1，4］上单调递减
即有f()＜f（3）=f（-3）
∴f（3）＞f（log8）
四、求值域
例4：求函数y=?摇?摇x∈［1，2］的值域.
解析：∵在区间［1，2］上函数y=是单调递减函数.
∴≤y≤3
∴函数y=的值域为{y|≤y≤3|}.
五、解不等式
例5：解不等式log（x-4x+3）＞-1.
解析：当x-4x+3＞0时原不等式变为式log（x-4x+3）＞log3
∵函数y=logx为减函数
∴x-4x+3＜3
∴原不等式等价于不等式组x-4x+3＞0x-4x+3＜3
解得0＜x＜1或3＜x＜4
∴原不等式的解集为{x|0＜x＜1或3＜x＜4}.
六、证明不等式
例6.已知0＜a＜（R≥Z，R∈N）且a＜a-b.求证：b＜.
解析：由条件b＜a-a=-（a-）+
记f（x）=-（a-）+.
当x∈（0，）时f（x）为增函数.
∵R≥2?摇?摇?摇?摇，∴0＜a＜≤.
故f（a）＜f（）.
从而b＜-（a-）+＜-（-）+
=-+=＜=.
七、求参变数的范围
例7：已知奇函数f（x）=-x在R上是减函数，设对一切x∈R，不等式f（2x-4x+3）+f（2kx-kx）＜0总成立，试确定k的取值范围.
解析：对一切x∈R，不等式f（2x-4x+3）+f（2kx-kx）＜0总成立.
即有2x-4x+3＞kx-2kx?圯2x-kx+（2k-4）x+3＞0对一切x∈R成立.
当k=2时，不等式为3＞0，对x∈R成立.
当k＜2时，只要△=（2k-4）-12（2-k）＜0?圯k-k-2＜0?圯-1＜k＜2
∴k的范围是（-1，2］.
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