【中考中构造函数关系式解决问题的几种方法】函数关系式

时间：2019-01-06 03:32:39　来源：雅意学习网本文已影响人

　　一年一度的中考，关系着学生的前途与未来。学生中考的成绩，也关系到千家万户的和谐与幸福。学生经历了近九年的学习，第一次面临人生的挑战。中考如此的重要，而函数知识是中考数学考试的重要内容之一，学生除了熟练掌握所学函数的解析式、图像、性质等基本知识外，还应该具有构造函数的基本能力。本文在此提供几种构造函数的基本方法。
　　一、利用公式构造函数关系
　　这类问题，往往涉及某些图形的面积、体积等，可利用相关公式进行构造。
　　例1：如图1所示，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4cm，AC=3cm，若△A′B′C′与△ABC完全重合，△ABC固定不动，将△A′B′C′沿CB所在直线向左以1cm/s速度移动，设移动X秒后△A′B′C′与△ABC的重合部分面积为y平方厘米，请写出y与x之间的函数关系式，并求出几秒后两个三角形重合部分的面积等于平方厘米？
　　分析：变量y表示△BHC′的面积，∠BC′H=90°，如果用x的代数式表达出BC′、HC′，则可表示出两个变量的函数关系。由题意可得BC′=4-x，利用△BC′H∽△BCA，可得：HC′=(4-x)，则y=(4-x）。对于第二问，将y=代入，即可求出x的值。
　　二、利用相似三角形构造函数关系
　　如果已知条件可以得到相似的三角形，所要求的变量与相似三角形的边有关系，可以利用相似三角形的对应边成比例的性质，列出变量之间的关系。
　　例2：如图2，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点P在BC边上运动，连接DP，过点A作AE⊥DP，垂足为E，设DP=x，AE=y，求y与x之间的函数关系式。
　　分析：由题目条件不难发现△AED∽△DCP，变量x、y是这两个三角形的边，可利用相似三角形对应边成比例的性质，得到=，即=，得到x与y的函数关系式。
　　三、利用变量之间的实际关系构造函数
　　某些变量之间，本身就存在着某种关系，如路程、速度和时间，单价、数量和总价等。可利用变量之间的这种关系，列出需要的函数关系式。
　　例3：某化工厂材料经销公司购进一种化工原料70000千克，购进价格为每千克30元，物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元，也不得低于每千克30元，市场调查发现：单价为70元时，日均销售60千克；单价每降低1元，日均多售出2千克。在销售过程中，每天还要支出其它费用500元（天数不足1天时，按整天计算）。设销售单价为x元，日均获利为y元。
　　（1）求y关于x的二次函数关系式，并注明x的取值范围。
　　（2）将（1）中所求出的二次函数关系式表示成y=a(x+)+的形式写出顶点坐标，并求出单价为多少时，日均获利最多，是多少？
　　（3）若将这种化工原料全部售出，比较日均获利最多和销售单价最高这两种销售方式，哪一种获总利较多，多多少？
　　分析：这道题是一个实际应用问题，可根据售价、进价、利润数量之间的关系，表达出函数关系式，函数关系式表达出来后，方能解答（2）、（3）问。
　　四、利用变量之间的图像构造函数
　　初中阶段学习的三种基本函数都有它们各自的图像。如一次函数的图像是一条直线，反比例函数的图像是双曲线，二次函数的图像是抛物线，我们可以根据题目给出的某种函数的图像（或其中图像的一部分），构造出相应的函数解析式。
　　例4：一个运动员推铅球，铅球刚出手时，离地面1m，铅球落地点距离铅球刚出手时的水平距离为10m，铅球运行中最高离地面3m，已知铅球走过的路线是抛物线，如图3，求这个抛物线的解析式。
　　分析：这道题明确指出函数图像是抛物线，即为二次函数的图像，因此，可以先设函数解析式为二次函数的解析式，由已知条件用待定系数法求出函数解析式。
　　五、利用变量之间的图表关系构造函数
　　有些题目用统计表的形式给出变量之间的部分数量对应关系，可通过比较分析题目中的数量，得出函数关系式。
　　例5：我市某外资企业生产的一批产品上市后30天内全部售完，该企业对这批产品上市后每天的销售情况进行了跟踪调查，其中，国内市场的日销售量y（万件）与时间t（t为整数，单位：天）的部分对应值如下表所示。而国外市场的日销售量y（万件）与时间t（t为整数，单位：天）的关系如图4所示。
　　（1）请你从所学过的一次函数、二次函数和反比例函数中确定哪种函数能表示y与t的变化规律，写出y与t的函数关系式及自变量t的取值范围。
　　（2）分别探求该产品在国外市场上市20天（不含20天）与20天后（含第20天）的日销量y与时间t所符合的函数关系式，并写出相应的自变量t的取值范围。
　　（3）设国内、外市场的日销量为y万件，写出y与时间t的函数关系式，并判断上市第几天国内、国外市场的日销售总量y最大，并求出此时的最大值。
　　分析：本题是一道集图表、图像为一体的函数应用题，它考查了反比例函数、一次函数、二次函数的有关知识，解题时要求考生从图表和图像中获取信息，有效地考查了学生识表、识图能力和分析问题、解决问题的能力。对于第一题从图表中可以发现，这是二次函数的变量对应值，并且以（15，45）为顶点，可设出恰当的函数解析式，利用表中数据求出函数解析式。
　　六、以静止动，构造函数
　　动态综合问题，成为近几年中考常出现的题目，这类题目往往集几何、代数知识于一体，具有较强的综合性，动态几何综合题的形式以解答题目为主，它常以坐标系为背景，几何图形为载体，运动变化特征，几何图形中各元素间存在某种函数关系为特点。从图形变化角度来看，试题一般分为对称、平移和旋转；从运动的构成来看，有点运动、线运动、图形整体运动等。求解这些题目要“以静止动”，即把动态问题变为静态问题来解。一般方法是抓住变化中的“不变量”，以不变应万变。
　　例6：如图5，OABC是一张平放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=5，OC=4。
　　（1）在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点D落在BC边上的点E处，求D、E两点的坐标。
　　（2）如图6，若AE上有动点P（不与A、E重合）自A点沿AE方向向E点匀速运动，运动速度每秒1个单位长度，设运动的时间单位为秒，过P点作ED的平行线交AD于M，过M作AE的平行线交DE于N。求四边形PMNE的面积S与时间之间的函数关系式；当时间取何值时，S有最大值？最大值是多少？
　　（3）在（2）的条件下，当时间为何值时，以A、M、E为顶点的三角形为等腰三角形；并求出此时点M的坐标。
　　分析：这是一道动态综合问题，所涉及的知识点主要有对称、勾股定理、相似三角形、二次函数、矩形和等腰三角形的知识等，此题计算较易，但对学生的能力要求较高，解题时切实把握图形运动过程中的特殊位置，才能正确作出解答。如（2）问题中，无论点P在什么位置，四边形PMNE总是矩形，若设运动时间为t，则有AP=t，PE=5-t，利用PM∥DE，得△AMP∽△ADE，=，求得PM=，∴S=t(5-t)。
　　在解答这类问题时，往往将几种方法综合使用。如例1中，既用了三角形的面积公式，又用到了相似三角形的知识；例5是一道运用图表、图像解答的函数应用题。因此，在解这类题时，一定要恰当灵活地将各种方法和各类知识综合运用。
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