因式分解典型例题_因式分解的典型错误剖析
时间：2019-01-06 03:20:40 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
把一个多项式化成几个整式的积的形式,叫做把这个多项式因式分解。这个概念表面上看起来很简单,但是,在学生的作业与测试中,我发现了很多种错误,经过仔细分析发现,错误通常有不按定义分解、分解不彻底、分组不当、浅尝辄止和知难而退等几种情形。下面,我对这几种错误的类型逐一进行分析。
一、不按定义分解
1.局部分解,其余不问。
例1.因式分解:a+6a+9。
误解:a+6a+9=a(a+6)+9
分析:这里致错的原因就是只用提取公因式法分解了问题的前面两项,而后面的部分却不过问了,这当然有违于因式分解的定义。
正解:a+6a+9=a+2×a×3+3=(a+3)
2.所得的因式非整式。
例2.因式分解:x+7x+x。
误解:x+7x+x=x(1++)
分析:这里致错的原因就是只用提取公因式法分解,而没有注意分解后的括号中的式子不是整式,这当然有违于因式分解的定义。
正解:x+7x+x=x(x+7x+1)
二、分解不彻底
例3.因式分解:m-9mn。
误解:m-9mn=(m+3mn)(m-3mn)
分析:这里致错的原因就是只想到用平方差公式法分解,而没有注意分解后的括号中的式子还可以继续分解。或者说一开始就没有提取公因式,这个步骤上的问题直接致使后面错误的产生。
正解:m-9mn=m(m-9n)=m(m+3n)(m-3n)
注:讲完了提取公因式法和公式法后,教材和辅助练习提出了许多综合性的问题,既要用提取公因式法又要用公式法,这样自然加大了学生解决问题的难度。例如这里的m-9mn是一个综合性的问题,教师在给同学们教授此类问题时,首先要考虑能否提取公因式,其次要准确确定最大公因式,否则都会给解题带来不必要的麻烦。这里的公因式为m,若是只提取m,后面还得再提取m。
另外,学生还极容易做出的错误结果为m(m-9n)这就是典型的分解因式不彻底。实际上括号内是两项,且正好是平方差的形式,还要看能否写成两整式的平方差形式,此题正好可以。故联想到平方差公式。
为了避免分解不彻底的问题产生,重点要放在提取完公因式后(注:若无公因式则另当别论)各个括号中的项数。若是“两项”则首先用平方差公式去考虑,若是“三项”则首先用完全平方公式去考虑。
三、转了一圈又回到起点
例4.因式分解:1-16a。
误解:1-16a=1-(4a)=(1+4a)(1-4a)
=(1+4a)(1+2a)(1-2a)=(1+4a)(1-4a)=1-16a
分析:这里致错的原因就是最后一步又把(1+2a)和(1-2a)的“积”化成了(1-4a)这种差的形式,走了回头路。正确的解法应该去掉最后两步。这一问题只发生在少数学生身上,只要课上重点强调,课后多加练习,学生就能彻底杜绝。
正解:1-16a=1-(4a)=(1+4a)(1-4a)
=(1+4a)(1+2a)(1-2a)
注:像这种首平方、尾平方、减号在中央的两项式,就可以直接用平方差公式分解。
四、非恒等变形违背数理
1.漏项错误。
例5.分解因式:7ab-a。
误解:7ab-a=a(7b)=7ab
分析:分解因式与整式运算是互逆的式子变形过程。小学学过乘法分配律,即m(a+b)=ma+mb是整式运算,反过来ma+mb=m(a+b)就是分解因式。如5x+10y=5(x+2y)同学们不容易出错,但像本例中的7ab-a就容易出错,所犯错误是7ab-a=a(7b)=7ab,结果显然不对。说到底就是等号两边的项数不相等,其实质上也就是非恒等变形。这种只用提取公因式法并且提取的还是单项式的问题可以告诉学生们,提取过后的括号里的多项式的项数和原来多项式的项数是一样多的,这样学生只要留意一下这一点,基本上是会杜绝这一类错误的。
2.不顾结果硬变形。
例6.因式分解:1-a+a
误解:1-a+a=9(1-a+a)=a-2×a×3+3=(a-3)
分析:本题的错误原因是为了把题中的各项系化为整数,就直接用9去乘了,这样必然导致原式与后来式子不相等,违背了恒等变形的数理。
正解:1-a+a=×9×(1-a+a)
=(a-2×a×3+3)=(a-3)
另解:1-a+a=1-2×1×a+(a)=(1-a)
注:像这种首平方、尾平方、首尾之积二倍中间放的三项式,就可以直接用完全平方公式分解。
五、分组不合理难以继续
例7.因式分解:a+2ab-c+b。
误解:a+2ab-c+b=(a+2ab)+(b-c)
=a(a+2b)+(b+c)(b-c)
分析:误解主要是因为分组不合理,直接导致分解了两步之后无法再进行下去了,关键还是因为思路放得不够开,只考虑了前面。其实,这类问题一般都是先考虑完全平方公式,然后才考虑平方差公式的。本题只要考虑到了这一点,问题自然迎刃而解了。
正解:a+2ab-c+b=(a+2ab+b)-c
=(a+b)-c=(a+b+c)(a+b-c)
六、知难而退,浅尝辄止
例8.证明:四个连续自然数的积与1之和必是一个完全平方数。
误解:首先观察发现:1×2×3×4+1=24+1=25=5。
于是设这四个连续自然数为n,n+1,n+2,n+3,则有:
n(n+1)(n+2)(n+3)+1=…以下内容因为太过复杂解不下去了。
分析:这里主要是学生还不能适应代数证明题,并且不能透过现象看本质。其实,对于一个复杂的代数式,如果能根据式子的特征,把其中的某些部分看成是一个整体,并用一个新的文字(即新元)代替,使式子得到简化,各项的关系容易看清,便于分解,这种解方程组中常用的方法不妨也借来一用(“它山之石,可以攻玉”),往往会收效很大。
正解:这四个连续自然数为n,n+1,n+2,n+3,则有:
n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n+3n)(n+3n+2)+1
令x=n+3n,
原式=x(x+2)+1=(x+1)=(n+3n+1)
从而得证。
总而言之,在因式分解的过程中,首先提取公因式,然后考虑用公式,分组分解要合适,结果必是连乘式。“不畏浮云遮望眼,自缘身在最高层”。只要学生在平时的练习与测试中,把握这些本质性的东西,并能认真探究,对照自己的实际情况,逐一进行练习,必能熟练掌握因式分解这一重要变形方法,并能灵活运用它去解决实际问题。而这些正是和新课标所要求的“学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的,这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动”完全一致。
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