【用圆锥曲线的定义解决某种最值问题】 圆锥曲线中的定点定值问题
时间：2019-05-11 03:13:27 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
摘 要：圆锥曲线的最值问题是高考试题中常考的题目，涉及点共线求最值，是圆锥曲线定义的应用，对于拓展思维能力起着积极的作用． 关键词：椭圆；双曲线；抛物线；最值
以圆锥曲线为载体的最值问题的求解，是解析几何的一类重要问题，圆锥曲线有统一的定义，当已知定点在某类圆锥曲线的内部时，求与曲线上动点有关的最值问题，若能灵活运用圆锥曲线定义，从两种定义出发，将问题转化为平面几何的问题，通过数形结合得出解决问题的方案，往往会化难为易，化繁为简，有快捷准确，简洁明了之效． 下面举例说明这类问题最值的解法．
例1 已知点A（1，2），点F是+=1椭圆上的右焦点，P为椭圆上的动点，求3PA+5PF的最小值，并求此时点P的坐标．
解：e=，如图1，P为椭圆上一点． 自P作右准线的垂线PH，H为垂足，由椭圆定义知：=e，即PF=PH，所以3PA+5PF=3PA+5·PH=3·（PA+PH），要使3PA+5PF最小，只要使PA+PH最小，显然P， A，H三点共线时，PA+PH取得最小值－1=-1=．
此时，P，2．
评注：上述解法适合于椭圆、双曲线、抛物线的形如求PA+PF的最小值问题．
例2 已知双曲线－=1内有一点A（6，3），F为其右焦点，P为双曲线右支上一动点，求PF+PA的最小值．
解：设F′为双曲线的左焦点，由双曲线第一定义得PF′-PF=2a=8，即PF=PF′-8，则PF+PA=PF′+PA-8． 在△PF′A中，PF′+PA≥F′A=，当且仅当P，F′，A三点共线时取等号． 如图2，可知动点P处于P1位置时PF′+PA取得最小值． 此时PF+PA的最小值为－8．
例3 抛物线y2=4x内有一点A（3，2），F为其焦点，P为抛物线上一动点，求PF+PA的最小值．
解：作PK垂直准线x=－1于K． 由抛物线定义得PF=PK，即PF+PA=PK+PA． 作AK1垂直准线x=－1于K1，交抛物线于P1，由直线外一点和直线上各点的连线中，垂线段最短可知PK+PA≥AK1=4． 如图3可知，当P处于P1位置时PF+PA取最小值为4．
定义是分析、解决问题的重要依据，巧妙简洁地解题常常来源于定义恰当合理的应用，只有熟练掌握定义的本质属性，把握其内涵与外延，才能灵活应用定义解题． 利用代数的方法研究几何问题是解析几何的基本特点，但解题的过程中计算量比较大，对运算能力有较高的要求，不过计算要根据题目中曲线的特点和相互之间的关系进行，所以曲线的定义和性质是解题的基础，关键要在计算中明确第一定义，还要熟练应用第二定义． 希腊数学家帕普斯在他的著作《汇篇》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定理进行了证明．即平面内一定点F和一定直线AB，从平面内的动点M向AB引垂线，垂足为C，若MF∶MC的值一定，则当MF∶MC的值小于1时，动点的轨迹是椭圆，等于1时是抛物线，大于1时是双曲线，该定义沿用至今．
