根植教材,触类旁通_触类旁通
时间：2019-02-02 03:28:36 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
摘 要： 作者通过对一个来自课本例题的基本图形的认识、分析、思考，训练学生识别图形，利用基本图形的条件和结论，将一类复杂图形问题简单化，帮助学生在较短的时间内抓住问题的本质，防止解题中无关信息的干扰，从而提高学生的思维水平，达到举一反三、触类旁通的教学效果。
关键词： 提炼 识别 创造 拓展 应用
基本图形具有广阔的拓展空间，在历年的中考试题中，根植于基本图形的试题屡见不鲜，题型囊括了选择、填空及解答题.在教学过程中，应重视基本图形的挖掘、探究，这样有助于更好地培养学生的发散思维，提高学生分析问题、解决问题的能力.
现就苏科版《义务教育课程标准实验教科书•数学》九年级上册“1.3平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判断”的例6中提炼的一个基本图形，谈谈该基本图形及其变式在中考试题中的应用.
一、提炼基本图形
苏科版《义务教育课程标准实验教科书•数学》九年级上册“1.3平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判断”例6：
已知：如图，E、F、G、H分别是正方形ABCD各边的中点，AF、BG、CH、DE分别相交于点A′、B′、C′、D′.
求证：四边形A′B′C′D′是正方形.
拓展延伸：
（1）若点E、F、G、H分别在正方形ABCD的各边上，且AE=BF=CG=DH，则四边形A′B′C′D′还是正方形吗？证明你的结论.
（2）若点E、F、G、H分别在正方形ABCD的各边上，且AE=BF=CG=DH，则四边形EFGH是正方形吗？证明你的结论.
从例6及对它的拓展与延伸中，我们不难发现，证题过程都要用到如下两个三角形全等，来实现证角等和线段等.
这样两个全等的三角形都满足“两个直角三角形斜边互相垂直或对应直角边互相垂直”，当对应边不相等时，这样的两个三角形相似.像这样“站着的和躺着的两个相似三角形”称为基本图形，在近几年的中考题中，涌出了一大批运用该基本图形及其变式图形编制的构思巧妙、立意新颖的考题.
二、识别基本图形
例：（2010年绍兴）（1）如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，AE，BF交于点O，∠AOF＝90°.求证：BE＝CF.
（2）如图2，在正方形ABCD中，点E，H，F，G分别在边AB，BC，CD，DA上，EF，GH交于点O，∠FOH＝90°，EF＝4.求GH的长.
图1 图2
（3）已知点E、H、F、G分别在矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA上，EF，GH交于点O，∠FOH＝90°，EF＝4.直接写出下列两题的答案：
①如图3，矩形ABCD由2个全等的正方形组成，求GH的长；
②如图4，矩形ABCD由n个全等的正方形组成，求GH的长（用n的代数式表示）.
图3图4
解析：本题初看比起例6是没有头绪，但是我们做过了例6，并记住了由它所提炼出的基本图形，那么我们就可以利用基本图形来解了，这样由此及彼地寻找解题途径，通过对基本图形的认识和理解，马上就会发现本题的解法.第（1）小问中学生能直接发现基本图形，通过证△ABE≌△BCF就把问题解决了；第（2）小问中没有基本图形，命题者的巧妙构思就在于此，受（1）的启发，学生可以把线段EF和GH分别平移到B和A的位置（如图5），就出现（1）的结构，从而问题可解；在对图2处理的基础上解决（3）、（4）两问，就迎刃而解了.
复杂的图形中要能识别出基本图形，并分解图形，当然，对于简单图形，只要一眼识别出是基本图形就可以直接应用.
三、构造基本图形
有些考题，表面上不能直接找到该基本图形，根据图形特征，通过适当添加辅助线，构造出该基本图形，这样就能应用基本图形解决问题了.
例1.（2010年咸宁）如图，已知直线l∥l∥l∥l，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形的四个顶点分别在四条直线上，则sina=?摇?摇?摇?摇.
解析：问题要求锐角三角函数值，自然要把锐角放在直角三角中，正方形ABCD的四个顶点的位置很特别，联想到例6是以正方形为背景提炼出的基本图形，不妨作如下尝试.
图1 图2 图3
辅助线的添加是根据基本图形及本题的特征而作的，以上解法都能使问题顺利解决.
例2.（2010年衢州）如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠ACB=90°，AB=AD，AC=4BC，设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式是（?摇）.
A.y=x?摇?摇?摇?摇 B.y=x?摇?摇?摇?摇
C.y=x?摇?摇?摇D.y=x
解析：按常规，四边形的面积y是左右两个三角形面积的和，即y=AC•BC+AC•DE，DE为△ACD中AC边上的高（如图）.这样，很自然地就构造出了基本图形：△ACB≌△DEA，AE=BC，DE=AC，设BC=k，则AE=k，AC=4k，EC=3k，在Rt△DEC中，DC=5k=x，用x的代数式表示相关线段，这样y=•4k•（k+4k）=•20k=10k=10•（）x=（）x，故选择C.
许多形式各异的几何图形，它们都有着内在的联系，具有相同或相似的基本图形.当遇到自己感觉生疏的图形时，应该冷静思考，认真寻找与之接近的熟悉题型.从题目的相通或相同点切入，联想与自己熟悉的基本图形是不是存在联系，最终使问题得以解决.
四、拓展基本图形
有的时候我们也会对基本图形进行适当的拓展，并把拓展后的图形也叫做基本图形.例如，下图中的两个三角形，当∠B=∠C=∠AFG≠90°时，也有△ABF∽△FCG，即“站着和躺着的两个相似三角形”.像这样拓展以后的基本图形，在中考试题中的应用也是层出不穷的.
例：（2009年太原）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BC=4AD=4，∠B=45°.直角三角板含45°角的顶点E在边BC上移动，一直角边始终经过点A，斜边与CD交于点F.若为△ABE等腰三角形，则CF的长等于?摇?摇?摇?摇?摇?摇.
解析：问题是求线段的长度，按常规思路，联想到成比例线段，联想到相似三角形，把CF放在可能相似的三角形中，使已知线段和要求线段成为三角形的边即可.通过等腰梯形ABCD的性质可知，∠B=∠C=∠AEF=45°，符合基本图形的条件，从而△ABE∽△ECF，故=，易知AB=3，BE+CE=4，再根据△ABE为等腰三角形，分①AE=BE，②AB=BE，③AB=AE三种情况讨论，也就是间接告诉我们，比例式中各个量之间的关系，问题也就不难解决了.
解题时，要善于抓住问题的特点，充分利用基本图形来分析问题，运用基本图形对解题的启示和简化功能总会出奇制胜.
五、综合应用基本图形
基本图形为寻找相似三角形提供了方便，通过分析题意，抓住问题本质，把学过的基础知识和基本图形“套”进去，化繁为简，在提高解题速度和准确率方面，能达到事半功倍的效果.
例：如图，在矩形ABCD中，由8个面积均为1的小正方形组成的L型模板如图所示放置，则矩形ABCD的周长为?摇?摇?摇?摇?摇?摇.
解析：本题求矩形ABCD的周长相当于求2（AB+BC），根据图形的特点，不难发现图形中有两个基本图形，△ABE≌△ECF、△ECF∽△FDG，从而有，AB=EC，BE，EF=2GF，故EC=2DF，即AB=2DF=CD，所以AB=EC=2FC，再根据勾股定理：EC+CF+=4，得AB=EC=，BE=CF=，所以矩形ABCD的周长为8.
在平时的教学过程中，要经常性地引导学生发掘、提炼、总结出一些具有广泛的代表性和典型性的图形，并能让学生掌握这些图形的性质和特点，在一些比较复杂的题目中，能辨认出，或者构造出，再根据基本图形的性质，择取有用的信息和结论，迅速地找到证题思路、方法，培养学生运用基本图形的习惯，减轻学生学习负担，提高学生思维水平和创造性解决问题的能力.
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