【由两道组合题型想到的】排列组合a和c计算方法
时间：2018-12-27 03:35:06 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
在教学组合内容时，时常遇到用插空法解题及涉及重复元素的组合数问题，现举例看两道题。 题目1：把n个相同的小球分给m(m≤n)个人，每人至少1个，有多少种不同的方法？
题目2：把n个相同的小球放入m个有编号的小盒，每盒容量不限，有多少种不同的放法？
解决题目1，涉及插空法；
解决题目2，涉及一个定理。
定理1：在集A={a ，a ，a ，……，a }中，每次取r个元素有重复的组合为：H=C，证明详见周万详编著的初等数学研究书《排列组合与数列》。
现在我们就来谈谈用插空法解决的组合题型及可转化为有重复元素的组合数的题型。
一、用插空法解题
1.人排队时不相邻问题
例：13个人排成一排，其中A、B、C两两不相邻，问有几种不同排法？
分析：
（1）可先将A、B、C以外的10人排成一排，即A；
（2）10个人有11个空（含两端），A、B、C去插这11个空，每人1空，即C；
（3）再将A、B、C进行全排列即A，所以排法数为ACA=AA。
小结：n个人排成一排，其中m人(m≤ )两两不相邻，则有：AAA=A种不同的排法。
分析：先将余下的n-m人进行全排列，从n-m+1个空中选出m个，这m人每人站一个空，再将m人进行全排列。
2.座位不相邻问题
例：10个相邻的座位，甲、乙每人坐1个位子且不相邻，问有几种不同坐法?
分析：
方法一：直接法
（1）当甲选了两边之一时，有C种选法，乙有C种选法；（2）当甲未选两边时，有C种选法，乙有C种选法，所以所求的坐法有CC+CC=72种。
方法二：间接法
总数-甲乙相邻=甲乙不相邻
总数为：CA=A；甲乙相邻为：CA（因为两个座位相邻的情况数有9种，故为C；而甲乙讲顺次，故为A）；所以所求的分法数为：A-CA＝72种。
3.分物时每人至少１份问题
例：把10个相同的小球分给4个人，每人至少1个，有多少种不同的分法？
分析：10个球有11个空，除两端外有9个空，在9个空中插入3人，每人插一个空，将小球分成4份，每人一份，所以不同的分法有C=C种。
如：
１１＊１１１１＊１１１＊１
甲乙丙丁
甲有2个，乙有4个，丙有3个，丁有1个。
小结：把n份相同的物品分给m(m≤n)人，每人至少1份则有C种不同的分法。
二、涉及允许重复选取元素的组合
例：3个人6种不同的卡片，每种均有多张，每人限选1张，有几种选法？
方法一：有3个人和6种卡片，这3个人可以选同一种，也可以选2种，还可以选3种，由此可知，这个问题的实质就是在6种不同的卡片里任意选3张，但这3张卡片可以重复，属于可以重复选取的重复组合问题，由定理1可知所求选法有H=C=C=56种。
方法二：因为这3张卡片可以是同一种，2种，3种，分为3类：①选1种，即C＝6。②选2种，即C，假如选到A、B张，但可能会A张1人，B张2人；也可能会A张2人，B张1人，故有2种情况，所以为2C＝30。③选3种，即C＝20。
所以总的选法有C+2C+C=6＋30＋20＝56种。
小结：n个人选m种不同的东西，每种有多件，每人限选一件，则有H=C种不同选法。
例：将5个相同的小球放入7个有编号的小盒，每盒容量不限，有多少种方法？
分析：有5个小球和7个小盒，这5个小球可以选同一个盒子，也可以选2个，3个，4个或者5个盒子，由此可知，这个问题的实质就是在7个不同的小盒里任取5个，但这5个可以重复，属于可以重复选取的重复组合问题，由定理1可知所求方法为H=C=C种。
小结：将n样相同的东西，放在m样不同的容量里，每个容器数量不限，则有H=C种放法。
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