三级倒立摆的LQG最优控制应用研究_三级倒立摆

　　文章编号：1003-6199(2011)04-0009-05� 　　 　　 摘 要：针对三级倒立摆的强耦合不稳定性，应用线性二次型高斯最优控制的方法, 设计LQG控制器,对其进行Matlab仿真研究，仿真结果表明,设计的控制器能很好的对倒立摆进行稳定控制，且具有较好的抑制噪声和抗干扰能力。
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　　关键词：三级倒立摆系统；LQG最优控制；Matlab 仿真�
　　中图分类号： TP273 文献标识码：A
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　　The Applications Research of Thriple Inverted �Pendulum Based on LQG Optimal Control
　　
　　��
　　YE Jian�bin,GUO Hong�wu�
　　（College of Mechatronics and Automation of NUDT，Changsha 410073,China）
　　
　　Abstract:This paper contrapose the strong coupling and non�stability of thriple inverted pendulum,using the theory of linear quadratic Gauss optimal control for Matlab simulation,design a LQG Controller,and experiment show that the presented method is effective,and the system has good restrain noise and good robustness.
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　　Key words:triple inverted pendulum system; LQG Optimal control;Matlab simulation
　　�
　　
　　
　　
　　1 引 言�三级倒立摆自身是一个高阶次、不稳定、多变量、非线性、强耦合的系统，近年来一直都是控制领域研究的热点。目前对三级倒立摆控制研究较多的是线性二次最优控制（LQR）方法，文献［2］重点研究了三级倒立摆系统LQR方法的加权阵Q的选择，文献［3］对三级倒立摆的数学模型设计了模糊控制器和LQR控制器的混合控制器，并进行了仿真，文献［4］就二级倒立摆的线性化数学模型设计了最优控制器并仿真。�
　　考虑到对三级倒立摆进行控制的时候，总是需要先将摆杆扶到倒立位置，系统才开始控制，此时外界（手）的作用力相当于加在摆杆上的一个噪声干扰，再加上每根摆杆连接处传感器及小车位置传感器的量测误差，这些对系统的稳定控制都产生了较大的影响。本文以固高三级倒立摆系统为对象，先建立三级倒立摆的动力学非线性数学模型，而后利用线性二次型高斯控制器(LQG）实现了三级倒立摆的动态平衡。仿真结果表明，该控制系统取得了预期的效果。
　　2 倒立摆数学模型�
　　2�1 系统组成［1］�
　　固高倒立摆控制系统包括1－小车、2－摆杆、3－直流力矩电机、4－轴角编码器、5－驱动和接口装置、6－控制计算机等部分，如图1所示。�小车在水平轨道上，由电机驱动通过滑轮牵引皮带来控制其作直线运动，小车的位置可由钢丝带动的光电码盘的测量信号转换得到。摆杆的倾斜角度则可由在支点处同轴安装的光电码盘测出。�
　　2�2 三级倒立摆非线性模型�
　　为使系统的模型不致过于复杂，针对问题本质，首先作以下假设：摆杆及小车都是刚体，且摆杆为匀质刚体；小车的牵引机构是理想的。直线三级倒立摆模型结构如图2所示。在实验过程中，由于各摆杆间的质量块（即测角度传感器）相对摆杆质量来说，对系统的影响非常大，以及系统的摩擦对系统也有较大影响，故在建模中重点考虑了各摆杆间的质量块和系统的摩擦，使模型更加接近实际�系统。���
　　
　　倒立摆参数定义如下:�
　　�m��0�小车质量 �
　　m��1�摆杆1的质量�
　　m��2 �摆杆2的质量�
　　m��3 �摆杆3的质量�
　　m��4�质量块1的质量�
　　m��5 �质量块2的质量�
　　f��0� 小车与导轨间的摩擦�
　　f��1� 摆杆1与转轴间的摩擦�
　　f��2� 摆杆2与转轴间的摩擦�
　　f��3� 摆杆3与转轴间的摩擦�
　　l��1�摆杆1中心到转动中心的距离�
　　l��2�摆杆2中心到转动中心的距离�
　　l��3�摆杆3中心到转动中心的距离�
　　J��i��� �摆杆i的转动惯量�
　　θ�i摆杆i与竖直方向的夹角 �
　　F作用在系统上的外力�
　　
　　利用拉格朗口方程推导运动学方程，倒立摆系统的拉格朗日方程为：�
　　L(q,)=T(q,)－V(q,) (1)�
　　其中，L为拉格朗日算子，q为系统的广义坐标，对于直线三级倒立摆为(x,θ�1,θ�2,θ�3)。T为系统的动能，V为系统的势能，其中零势能面取摆杆支点所在水平面。拉格朗日方程由广义坐标q�� ���i�和L表示为�
　　ddt(�L��i)－�L�q�i+�D��i=F��q�i� (2)�
　　其中，i=1,2,3…n,，n为倒立摆系统的自由度，D为系统总耗散能，F��q�i�为系统沿该广义坐标方向上的外力，对直线三级倒立摆，有F�x=u－f�0,F��θ�1�=0,F��θ�2�=0,F��θ�3�=0.�
　　先计算系统的动能：�
　　T=12m�0�2+12m�1d(x-l�1�sin�θ�1)dt�2+�
　　d(l�1�cos�θ�1)dt�2+16m�1l�2�1�2�1+�
　　12m�2d(x-2l�1�sin�θ�1-l�2�sin�θ�2)dt�2+�
　　d(2l�1�cos�θ�1+l�2�cos�θ�2)dt�2+�
　　12m�3d(x-2l�1�sin�θ�1-2l�2�sin�θ�2-l�3�sin�θ�3)dt�2+�
　　d(2l�1�cos�θ�1+2l�2�cos�θ�2+l�3�cos�θ�3)dt�2+�
　　16m�2l�2�2�2�2+16m�3l�2�3�2�3+12m�4�
　　d(x-2l�1�sin�θ�1)dt�2+d(2l�1�cos�θ�1)dt�2+�
　　12m�5d(x-2l�1�sin�θ�1-2l�2�sin�θ�2)dt�2+�
　　d(2l�1�cos�θ�1+2l�2�cos�θ�2)dt�2(3)�
　　
　　
　　系统的势能为：�
　　V=m�1gl�1cos θ�1+m�2g(2l�1cos θ�1+�
　　 l�2cos θ�2)+m�3g(2l�1cos θ�1+2l�2cos θ�2+�
　　 l�3cos θ�3)+m�4g2l�1cos θ�1+�
　　 m�5g(2l�1cos θ�1+2l�2cos θ�2) (4)�
　　系统的损耗能为：��
　　D=12f�0�2+12f�1�2�1+�
　　 12f�2(�2-�1)�2+12f�3(�3-�2)�2(5)�
　　将L=T-V和D的表达示代入方程(2),得到系统的非线性微分方程如下�
　　a�0-(a�1+b�1) �1�cos�θ�1-(a�2+b�)�2�cos�θ�2-�
　　 b�3�3�cos�θ�3+(a�1+b�1)�2�1�sin�θ�1+(a�2+�
　　 b�2)�2�2�sin�θ�2+b�3�2�3�sin�θ�3+2f�0=F(6)�
　　-(a�1+b�1) �cos�θ�1-(2a�1l�1+c�1)�1+�
　　 2a�3l�1l�2�2�cos�(θ�1-θ�2)+2b�3l�1�3�cos�(θ�1-�
　　 θ�3)- 2a�3l�1l�2�2�2�sin�(θ�1-θ�2)+�
　　 2b�3l�1�2�3�sin�(θ�1-θ�3)-(a�1+b�1)g�sin�θ�1+�
　　 (f�1+f�2)�1-f�2�2=0(7)�
　　-(a�2+b�2) �cos�θ�2+2a�3l�1l�2�2�cos�(θ�1-θ�2)+�
　　 (2a�2l�2+c�2)�2+2b�3l�2�3�cos�(θ�2-θ�3)- �
　　 2a�3l�1l�2�2�1�sin�(θ�1-θ�2)+2b�32�2�2�3�sin�(θ�2-θ�3)-�
　　 (a�1+b�2)g�sin�θ�2-f�2�1+(f�2-f�3)�2-�
　　 f�2�2+f�3�3=0 (8)�
　　-b�3�cos�θ�3+2b�3l�1�1�cos�(θ�2-θ�3)+2b�3l�2�2�cos�(θ�2-�
　　 θ�3)+c�3�3-2b�3l�1�2�1�sin�(θ�1-θ�3)-2b�3l�2�2�2�sin�(θ�1-�
　　 θ�3)-b�3g�sin�θ�3+f�3(�3-�2)=0(9)�
　　其中a�0=∑5i=0m�i,a�1=2l�1∑5i=2m�i,�
　　a�2=2l�2(m�3+�5),a�3=m�2+2m�3+2m�5,�
　　b�i=m�il�i,c�i=m�il�2�i+J�i,(i=1,2,3)
　　2�3 系统在平衡点处线性化后的状态方程�
　　选择系统的状态变量为X={x,θ�1,θ�2,θ�3,,�1,�2,�3},代入系统参数，并在系统平衡点（X=0）附近进行线性化，得到系统的状态方程：�
　　(t)=Ax(t)+Bu(t)�y(t)=Cx(t)+Du(t) (10)�
　　其中：�
　　
　　 A=0 0 0 0 1.0000 0 0 0�
　　 0 0 0 0 0 1.0000 0 0�
　　 0 0 0 0 0 0 1.0000 0�
　　0 0 0 0 0 0 0 1.0000�
　　0 0.08256 -19.25887 19.46906 -0.00332 -0.07992 0.30309 -0.22344�
　　 0 5.92430 0.02357 0.00528 -0.17782 -0.03737 0.01803 0.000036�
　　 0 183.89786 -83.36183 0.025198 -1.13535 -1.50669 1.18700 -0.27944�
　　 0 -112.0799 120.53752 -7.90254 -0.00607 1.20576 -1.30887 0.46827 ��
　　
　　B=［0 0 0 0 0.01658 0.88911 5.67676 0.03037］�′��
　　
　　 C=1 0 0 0 0 0 0 0;�
　　 0 1 0 0 0 0 0 0;� 0 0 1 0 0 0 0 0;� 0 0 0 1 0 0 0 0;��
　　D=［0; 0; 0; 0］;
　　3 线性二次型高斯最优控制�
　　考虑系统随机输入噪声与随机噪声的线性二次型的最优控制叫线性二次型高斯最优控制（LQG），用卡尔曼滤波器观测系统状态。这是一种输出反馈控制，对解决线性二次型最优高斯控制问题更具有实用性。�
　　3�1 LQG最优控制原理�
　　对于上述三级倒立摆系统，考虑干扰噪声和量测噪声的状态方程为�
　　(t)=Ax(t)+Bu(t)+Γω(t)�y(t)=Cx(t)+Du(t)+v(t) (11)�
　　式中， ω(t)为系统干扰噪声；v(t)为传感器带来的量测噪声。�
　　根据LQG问题的分离原理，典型的线性二次型高斯最优控制的解可以分解为两个问题，�
　　即LQ最优状态反馈控制问题和带有扰动的状态估计问题。
　　3�2 线性二次型最优控制器的设计�
　　对状态方程(11)，使控制性能指标：J=12�∫��
　　�SymboleB@ �0(x�T(t)Qx(t)+u�T(t)Ru(t))dt达到最小，即要确定最佳控制量u(t)=－KX=－R��－1�B�TPx的反馈矩阵K。其中，Q，R为正定（或半正定）的厄米特或实对称矩阵；K为最优反馈增益矩阵；P为常值正定矩阵，必须满足黎卡提方程PA+A�TP－PBR��－1�BP+Q=0的解［5］。Q，R分别是系统状态变量和控制量的加权矩阵，权矩阵Q对角线上各权系数代表各项指标误差的相对重要性；R代表了能量损耗的相对重要性，其作用在于限制控制器的输出不至太大而导致难于控制。�
　　根据式(11)，为满足系统稳定性控制的要求，权矩阵Q中与各主要被控量相对应的权系数一般取值较大，并且当Q矩阵的值较大时，系统能更快地达到稳定状态［2］。通过大量的仿真实验，发现Q矩阵的值在一定范围内越大系统的调节时间就越短，但当其过大时会造成比较大的抖动；考虑到小车的速度和三根摆杆的角度对控制系统的影响较大，这里取Q=diag(5000,3000,2000,4000,0,0,0,0) ，R=1求出最优状态反馈矩阵：�
　　K=［ 70.7 339 -593.5 1719.7 -91.5 23.2 -24.1 276.1］
　　3�3 Kalman滤波器的设计�
　　�Kalman滤波器就是最优观测器，能够抑制或滤掉噪声对系统的干扰和影响。利用Kalman�滤波器对系统进行最优控制是非常有效的［6］。三级倒立摆系统在考虑干扰噪声ω(t)和量测噪声v(t)时，采用�LQG控制器能更好的对系统实施控制。�
　　根据Kalman滤波理论，Kalman�滤波器的增益矩阵L=P�fC�TΘ��－1�，其中P�f满足黎卡提方程P�fA�T+AP�f－P�fC�TΘ��－1�CP�f+ΓΞΓ�T=0，且P�f=P�T�f≥0，Ξ=E［ω(t)ω�T(t)］≥0，Θ=E［v(t)v�T(t)］≥0。�
　　对于LQG控制器，干扰噪声可视为从输入端加入，当对三级倒立摆进行控制的时候，要将倒立摆扶到倒立位置，此时相对输出量测噪声来说它对系统的影响较大，随着系统的逐渐稳定，干扰噪声相对输出量测噪声对系统的影响也逐渐减小。假定这些噪声信号为零均值的Gauss过程，并假设ω(t)和v(t)为相互独立的随机变量［7］；因此根据输入、输出信号的幅值范围，可选定干扰噪声ω(t)的协方差Ξ=2，量测噪声v(t)的协方差Θ=［1 0 0 0;0 1 0 0; 0 0 1 0;0 0 0 1］，Γ为干扰噪声项ω(t)的系数，在式（11）中值为1。由此可求得卡尔曼滤波器的估计增益:��
　　 L=�
　　
　　 1.6294 0.1087 0.0866 0.0510� 0.1087 21.4920 -9.8163 -0.9944� 0.0866 -9.8163 15.5468 -2.5152� 0.0510 -0.9944 -2.5152 12.2630� 1.3384 0.3506 0.2625 0.1298� 1.2612 279.6333 -150.2164 -8.1744� 0.0294 -210.8583 172.1991 -26.8183� 0.2535 -0.6967 -33.3637 78.8500
　　4 Matlab仿真�
　　下面利用�Matlab进行仿真验证LQG控制器的设计效果，仿真中采用均值为0，方差为1的高斯噪声，给定的系统初始条件为［0.1;0.05;0.05;0.05;0;0;0;0］，采样时间取0.005s，仿真时间设定为15s，得到如图3所示的仿真曲线。����
　　�(a)小车位置响应��
　　�(b)摆杆1角度变化曲线�
　　�(c)摆杆2角度变化曲线�
　　�(d)摆杆3角度变化曲线�
　　
　　5 结 论�
　　本文首先用Lagrange方程对三级倒立摆系统进行了建模，在建模中重点考虑了各摆杆间的质量块和系统的摩擦，使模型更加接近实际系统。考虑到系统干扰噪声和量测噪声的存在，采用基于LQG的最优控制，进行LQG控制器的设计和仿真研究，从仿真结果可以看出，系统的超调量比较小，在有噪声输入干扰的情况下系统也能较快的趋于平稳，且系统具有一定的鲁棒稳定性，证明了建模、控制器的设计和仿真过程的正确性。
　　参考文献�
　　［1］ 倒立摆与自动控制原理实验［S］. 固高科技（深圳）有限公司，2005.�
　　［2］ 李宇成，朱兴，郑兴凯，等. 基于LQR算法的三级倒立摆控制系统的仿真研究［J］.北方工业大学学报,2006,45(29):245-248.�
　　［3］ Beichen Ji,Shuang Cong. Modeling and simulation for a triple inverted�pendulum［C］. Proceedings of the 5��th� World Congress on Intelligent Control and Automation. 2004.�
　　［4］ 高原平. 基于MATLAB的二级倒立摆线性最优控制器的设计和仿真［J］.建筑与工程，2011,14-0119-02:119-120.�
　　［5］ 谢学书. 最优控制［M］.北京: 清华大学出版社,1986.�
　　［6］ 林红，冯志华. 基于LQG的弹性倒立摆动态稳定性控制［J］.系统工程与电子技术，2003,25(12):1511-1512.�
　　［7］ 张静. MATLAB在控制系统中的应用［M］.北京：电子工业出版社，2007.省略);郭鸿武(1973―),男,广西合浦人,副教授,研究方向：精确制导与控制。

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