【数形结合思想(下)】数形结合思想
时间：2020-02-23 07:35:13 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
数形结合思想在数学中的应用主要体现在两个方面，一是以数解形，这类问题需要从图形中充分挖掘信息，并且将这些信息反应到代数式中；二是以形助数，这是数形结合应用的主体，借助图形的直观性将抽象的代数问题具体化． 下面分别举例说明：
已知函数f（x）=4xx－1．给出如下结论：
①f（x）是R上的单调递增函数；
②对于任意x∈R， f（x）+f（－x）= －2恒成立；
③函数y=f（x）－2x+1恰有三个零点x1，x2，x3，且x1+x2+x3=0．
其中正确结论的个数为（ ）
A． 0 B． 1 C． 2 D． 3
解析 逐一判断． 由题意可知f（x）=4xx－1=4x2－1，x≥0，－4x2－1，x1，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围是（ ）
A． （1，2010） B． （1，2011）
C． （2，2011） D． ［2，2011］
解析 本题中分段函数对应的图象如图2所示，因为f（a）=f（b）=f（c），且a，b，c互不相等，所以直线y=k与函数y=f（x）的图象有三个不同的交点，则k∈（0，1）． 与函数y=f（x）的图象的三个不同的交点横坐标从小到大记为a，b，c，则由图象易知a，b关于直线x=对称，即a+b=1，且c∈（1，2010），所以a+b+c∈（2，2011），故选C．
点评 如果上面那道题不利用图形，劈开繁琐这一层面外，还能够解的话，那么这道题如果不利用图形，你肯定无从求解，进一步体现了这种“以形助数”方法的无可替代的地位．
函数中的不少问题常使我们一头雾水，摸不着头绪，考试往往也是束手无策，无从下手，这时如果能够画出其图象的大致形状，就可以给我们“柳暗花明又一村”的感觉．
若定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且当x∈［0，1］时， f（x）=x，则函数y=f（x）－logx的零点个数为（ ）
A． 3 B． 4 C． 5 D． 6
解析 偶函数f（x）的周期为2，且x∈［0，1］时， f（x）=x，作出函数f（x）的部分图象如图3所示，而函数y=f（x）－logx的零点即为函数y=f（x）与y=logx的图象的交点横坐标，由图象可知，交点有6个，故函数y=f（x）－logx的零点有6个，故选D．
点评 这道题中函数y=f（x）在R上的解析式没有给出，因此函数y=f（x）－logx的零点用代数方法无法求解，就算你有能耐求出函数f（x）在R上的解析式，那也会是一个浩大的工程． 对于这类题，“以形助数”几乎是唯一的方法．
已知函数f（x）=2－x－1，x≤0，f（x－1），x>0，若方程f（x）=x+a有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是________．
图4
解析 作出函数y=f（x）和y=x+a的图象如图4所示，由图象可知a
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