导数浅谈 浅谈高中导数的有效作用
时间：2020-02-21 11:48:20 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
在我国现在中学数学新教材中，导数处于一种特殊的地位，是高中数学知识的一个重要交汇点，是联系多个章节内容以及解决相关问题的有效途径。新课程增加了导数的内容，随着课改的不断深入，导数知识考查的要求逐渐加强，而且导数已经由前几年只是在解决问题中的辅助地位上升为分析和解决问题时的不可缺少的工具。�
导数的思想方法和基本理论有着广泛的应用，除对中学数学有重要的指导作用外，也能在中学数学的许多问题上起到居高临下和以简化繁的作用。看如何运用导数解决中学数学中相关问题：如函数单调性、最值等函数问题；在掌握导数的相关概念的基础上应用导数作出特殊函数的图象；应用导数解题的一般方法证明某些不等式的成立和解决数列的有关问题，再根据导数所具有的几何意义对切线相关问题及平行问题等几何问题进行了一些探讨，并最终运用导数解决实际问题中的最值；甚至在解决应用问题，物理问题，经济学问题有起到了举足轻重的作用！�
1 用导数求函数的切线�
例：求曲线y=xx-2过点(1，－1)处的切线方程。�
分析：根据导数的几何意义求解。
函数y=f(x)在点x�0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点P（x�0， y=f(x�0)）处的切线的斜率。既就是说，曲线y=f(x)在点P（x�0， y=f(x�0)）处的切线的斜率是f′(x�0) ，相应的切线方程为y-y�0= f′(x�0)(x-x�0)。�
2 用导数判断函数的单调性�
已知f(x)＝ax�3＋3x�2－x＋1，a∈R．�
(Ⅰ)当a＝－3时，求证：f(x)在R上是减函数；�
(Ⅱ)如果对�x∈R不等式f′(x)≤4x恒成立，求实数a的取值范围．�
分析：利用导数判断函数的单调性的步骤是：（1）确定f(x)的定义域；（2）求导数f′(x)；（3）在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0和f′(x)g（x），同理，若f（x）、g（x）在［a，b］连续，在（a，b）上可导，要证明f（x）>g（x），x∈（a，b），可以构造函数F（x）=f（x）-g（x），如果F′（x）0，即证明了f（x）>g（x）。�
5 导数在物理问题的应用�
导数在高中数学中，应用问题是一颗璀璨的“明珠”，可谓常考常新，纵观近几年的各地高考数学试卷应用问题仍然受到命题者的青睐.其中它与导数的综合，更是一曲优美的“交响乐”，成为高考中的“新宠”.以导数为背景的应用题，由于它们在知识上具有综合性，题型上具有新颖性，解题时需要开动学者的发散性思维！另外，在物理学中，经济学中导数的应用也相当的广泛，比如工程上很多实际的问题都会有相关应用，求水坝斜面的压强等等，考虑到微分的思想，需要积分类的都会用到导数的思想。�
6 导数在经济学中的应用�
如需求弹性：设需求函数Ｑ=f(P), 这里P表示产品的价格. 于是, 可具体定义该产品在价格为P时的需求弹性如下：�
n=n(P)=1im△Ｑ/Ｑ△P/P=1im△Ｑ△P•=PＱ=P•f′(P)f(P)，当△P很小时， 有n=P•f′(P)f(P)≈Pf(P)•△Ｑ△P，故需求弹性n近似地表示在价格为P时, 价格变动1%, 需求量将变化n%, 通常也略去"近似"二字.�
例：某商品的需求函数为Ｑ=75-P�2(Q为需求量, P为价格).�
(1) 求P=4时的边际需求, 并说明其经济意义.�
(2) 求P=4时的需求弹性, 并说明其经济意义.�
(3) 当P=4时, 若价格P上涨1%, 总收益将变化百分之几?是增加还是减少?�
(4) 当P=6时, 若价格P上涨1%, 总收益将变化百分之几?是增加还是减少?�
对我们无疑的就是一个经济上的问题，可见导数也起到了一个很重要的作用！�
总而言之，我们要充分利用好导数的有效作用，发挥导数的能动性，会让你起到一个事半功倍的效果哟！
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