函数的奇偶性例题讲解【函数奇偶性的判断】
时间：2019-02-12 03:23:20 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
摘 要：本文分析了函数奇偶性判断的概念及理解，并通过例题分析指出了判断奇偶性的方法。 关键词：函数 奇偶性 判断 对于奇函数和偶函数的正确地理解和判断，笔者认为应从以下几个方面去理解。
1 概念
1.1 一般的，如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，则称f(x)为这一定义域内的奇函数。
1.2一般的，如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，则称f(x)为这一定义域内的偶函数。
2 概念的理解
2.1 从它的几何意义理解
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称。
2.2 从隐含的条件去理解
函数的奇偶性时针对函数的定义域讲的，由于任意的x与-x都要在定义域内，所以奇（偶）函数的定义域关于原点对称。我们在判断函数是否具有奇偶性时，应先确定其定义域关于原点是否对称。不对称就没有奇偶性。（定义域对称，才能是函数图象关于原点或y轴对称）
2.3 从性质去理解
奇（偶）函数还具有以下性质：
2.3.1 两个奇（偶）函数的和（差）也是奇（偶）函数。
2.3.2 两个函数的积（商，分母恒不为零），当其奇偶性相同为偶函数，当其奇偶性相反为奇函数。
2.3.3 偶函数一般不存在反函数；如果一个奇函数有反函数，那么其反函数也是奇函数。
3 几个易出错的问题
3.1 概念上出错
例如：求y=-sinx，x∈R的奇偶性。根据定义去解，易得是个奇函数，而学生往往如此去解：f(x)=-sinx，则f(-x)=-sin(-x)=sinx，故为偶函数。
又如：y=-|tanx|，x≠ +kπ(k∈Z)是否具有奇偶性？根据定义易得其为奇函数。而学生常常这样做：f(x)=-|tanx|则f(-x)=-|tan（-x）|=-|tanx|故它是个奇函数。他们判断的准则是最后的结果，如果解析式前面为正号则为偶函数，否则为奇函数。
3.2 隐含条件上出错
如对于函数y=sinx，x∈［0 ，�∞)上是否具有奇偶性，学生只注意到f(-x)=-f(x)成立，而没有注意到其定义域x∈［0，�∞）并不具备作为奇函数或偶函数的必要条件，从而产生判断的失误。
出现这种失误的原因是忽略了奇偶函数的定义域关于原点对称这一条件。
4 判断奇偶性的方法
4.1 定义法
这种方法就是：不但使f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)成立，而且也要考虑其定义域关于原点对称这一条件，二者缺一不可。
［例］：已知y=-tanx，x≠ +kπ(k∈Z)是否具有奇偶性？
分析：f(-x)=-tan（-x）=-（-tanx）=-f(x)，且f(x)的定义域关于原点对称，可知y=-tanx，x≠ +kπ(k∈Z)是奇函数。
［例］：判断函数f(x)=(x-1) 的奇偶性。
分析：①f(-x)=（-x-1） =-(x+1)
=-(x-1) =-f(x)
②求定义域：解不等式组 ≥0x-1≠0
得?摇?摇-1≤x＜1
由可知此函数不具有奇偶性，因为其定义域关于原点不对称。
4.2 几何法
［例］：函数y=tan(x+ )，x≠ +kπ(k∈Z) ( ?摇?摇)。
(A)是奇函数?摇?摇 ?摇(B)是偶函数
(C)不是奇函数也不是偶函数
(D)有无奇偶性不能确定
分析：将函数y=tanx，x≠ +kπ(k∈Z)?摇图象沿x轴平行向左移动 个单位得到函数y=tan(x+ )，x≠ +kπ(k∈Z)的图象。从图象上容易观出：图象既不关于原点对称也不关于y轴对称，故选(C)。
4.3 性质法
如：求函数y=x sin ，x≠0的奇偶性。
分析：我们可用性质2.3.2来解，令f(x)=x ，g(x)=sin 。(x≠0)，因为f(x)为偶函数而g(x)为奇函数，故原函数为奇函数。
又如：求函数y=arcsinx，x∈［-1，1］的奇偶性。
分析：我们可用性质2.3.3来解，因为y=sinx，x∈［- ， ］上为奇函数，故其反函数也为奇函数。
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