余弦定理公式_从正余弦定理应用教学谈数学应用意识及能力的培养
时间：2019-02-11 03:26:28 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
摘要： 数学在现实世界中发挥着越来越重要的作用。美国数学课程标准中明确指出，社会对数学思维和问题解决的能力的需要已极大地提高了，能理解并很好地运用数学的学生将会有更多的机会，数学能力为学生开辟了广阔的未来。然而，在实际的数学学习中，学生普遍遇到解题思路受阻，无法将已学知识与实际问题相联系，或不能充分利用好已学的相关知识而使解题方法不佳，以致解题速度不快、解答过程繁冗、解答结果不准确等。因此，数学教学必须重视数学应用能力的锻炼和培养，让学生学会如何学习的同时知道如何学以致用，以增大学生认知结构的可利用性。本文就正余弦定理应用教学来谈谈如何培养五年制高职学生的数学应用意识和能力。
关键词： 正余弦定理应用 数学应用意识 数学应用能力 五年制高职
1.任务驱动，设问在先，增强求知欲
“任务驱动”是一种建立在建构主义教学理论基础上的教学法。建构主义教学设计原则强调：学生的学习活动必须与任务或问题相结合，以探索问题来引动和维持学习者的学习兴趣和动机；建立真实的教学环境，让学生带着真实的任务学习；学生拥有学习的主动权，教师不断地挑战和激励学生前进。
在引入正余弦定理之前可以先布置本次课后的“任务”：在视觉范围内，有一座不知具体高度的山，现有工具：卷尺、测角仪，能否得到此山的大致高度？
这样提出问题的优点在于：1.问题生活化，让学生意识到知识的价值所在，消除学生潜意识里数学学而无用的误解，激发探索欲；2.问题简洁化，学生容易接近，易于审题，不会望题生畏，保护了学生的解题自信心。有了这两点保证，学生将会主动带着问题，有目的地去迎接新知识的引入。
2.认清对象，轻重分明
教师讲课不能只是照本宣科，首先必须认清自己授课的对象，他们的知识基础、他们的学习需求才是授课时应该考虑的重点。对于中学生来说，数学教学的目的是为了培养他们的逻辑思维，判断推理和知识应用等多方面的能力，因此，公式的推导、分析理解及合理应用等方面都不可忽视；对于数学专业的本科生来说，数学教学是为了教会他们如何自学、如何创新，增加知识面的深度和广度，以达到会用乃至会改进、会创新知识的目的。因此，结论的推导和分析才是讲课的课上重点，在应用方面就是学生自己课后的任务了，仁者见仁，智者见智。然而，对于五年制高职的学生而言，他们学习数学的目的就是为了运用，数学知识的研究探讨并不是他们的强项，更不是他们学习的任务，所以，对他们上课时结论的推导可以不作要求，知识的理解和应用是关键。
在引入正余弦定理时，可直接给出结论：
正弦定理： = = 。
余弦定理：a =b +c +2bc•cosA，b =a +c +2ac•cosB，c =a +b +2ab•cosC。
当然，结论给出后进行相应的解释来帮助理解和记忆也是必须的，学生只有在理解了公式的基础上才能准确并灵活运用它。
3.运用现有结论，促成派生，扩大知识适用范围
数学中的结论促成的派生就是我们常说的推论，推论的作用是将已经被认可和接受的结论中隐藏的一些结论用显性的描述方式表示出来。
例如我们最熟悉的路程公式：s=v•t，利用公式我们可以很明显地意识到在速度v和时间t已知的情况下，路程s可以很方便地由速度和时间的乘积得到。那么如果知道了路程s和时间t能否求出速度v呢？对于我们有一定知识基础的人来说答案显而易见，只要将公式进行小小的变形即可求解，但对于初学者来说这是一个难点，因为逻辑推理的能力并非人们与生俱来的，它需要我们通过学习数学来一点一滴慢慢培养，而从已知结论推理出它的派生的过程既是我们逻辑推理能力的到培养的过程，也是我们开拓结论适用性的过程。
就余弦定理来说：a =b +c +2bc•cosA，b =a +c +2ac•cosB，c =a +b +2ab•cosC。
以上的三个公式只适用于已知三角形两边和它们的夹角求解三角形的情况，然而只要我们将它们作一下变形：
cosA= ，cosB= ，cosC= 。
我们发现现在的公式适用的情况是已知三边求三角。到此我们就将余弦定理的适用范围推广到两种情况之下了。如此的思想在以前和今后的学习中也是时有出现。
4.归纳总结，增强知识结构的整体性与概括性
知识结构就是知识在人们头脑中的系统组织，它具有整体性和概括性。认知心理学认为，知识结构的整体性越强、概括水平越高，就越有利于学习的保持与迁移。因此，在教学中我们必须随着该教学进度的推进，及时归纳总结已学内容的规律，以促进学生认知结构概括水平的不断提高，最终促使学生高效高质地整体掌握该单元，从而形成整体性强、概括程度高的知识结构。
在学习正余弦定理之前应该先让学生思考一下：要确定一个三角形（即确定三角形的三边和三角这六个量）至少需要那些已知条件？提示：利用三角形全等的判定定理，发现六个量一般只要知道其中的三个量就可以确定三角形了，也就是说三角形中已知三个量可以求解其余的三个量。但是有一种情况需要排除：已知三角形的三个角要求三条边，显然这种情况只能得到一些相似的三角形，即解有无数组，并不能唯一确定三角形，而除此之外的已知三个量都可以唯一确定三角形，即可以求解其余三个量。
那么具体的求解过程需要用到那些相应的知识呢？就是我们的正余弦定理，并且在给出我们的结论时总结出他们各自的适用情况也是必不可少的。
给出正弦定理： = = ，
根据公式观察发现适用范围：
（1）已知两边和它们其中一边的对角求解三角形。
（2）已知两角和任意的一边求解三角形。
给出余弦定理：a =b +c +2bc•cosA，b =a +c +2ac•cosB，c =a +b +2ab•cosC。
根据公式观察发现适用范围：（3）已知两边和它们的夹角求解三角形。
给出余弦定理的推论：cosA= ，cosB= ，cosC= 。
根据公式观察发现适用范围：（4）已知三边求三角。
至此我们可以很直接地看到正余弦定理的用途。
5.注意策略的教学与培养，增强知识的可利用性
智育的目标是：第一，通过记忆，获得语义知识，即关于世界的事实性知识，这是较简单的认知学习。第二，通过思维，获得程序性知识，即关于办事的方法与步骤的知识，这是较复杂的认知学习。第三，在上述学习的同时，获得策略知识，即控制自己的学习与认知过程的知识，学会如何学习，如何思维运用，这是更高级的认知学习，也是人类学习的根本目的。
在学习中，如果学生的认知结构中缺乏策略或策略的水平不高，那么学生的学习效果就不好，特别是在解题过程中，就会造成不能利用已学的相关知识而找不到解题途径，或解题思路受阻，或解题方法不佳，以致解题速度不快、解答过程繁冗、解答结果不准确等。因此，数学教学必须重视策略的教学和培养，让学生学会如何学习和如何思维，以增大学生认知结构的可利用性。
要做到这一点必须由浅入深，从简单到复杂。在我们给出公式并道明其适用范围后应当例举一些相应的有针对性的习题加以练习,如适用范围（1）给出后应接着给出：
例一：在△ABC中，已知a=20，b=10，A=60°，求解三角形；
并思考例二：在△ABC中，已知a=20，b=30，A=30°，求解三角形。
通过求解例题让学生对正余项定理有更加直观和深刻的理解，以便将它们灵活应用到实际问题当中去。
6.重视一题多解和错解分析（多解的习题要有意讲评，例题讲解可故意设错）
错解分析能使学生注意到解答容易出错的关键所在，同时使学生体验到解题策略调节的必要性和方法，防止今后犯类似的错误，增强学生解题纠错力。
就以上所举的例一、例二而言，两例貌似题型相同，实则答题结果却有差别。
例一：利用正弦定理： = 可以很容易得到，sinB=b×sinA/a=10×sin60°/20= ，B≈25.7°，C=180°-A-B=94.3°，c=a×sinc/sinA=20×sin94.3°/（ ）≈23。
例二：利用正弦定理： = 也可以得到sinB=b×sinA/a=30×sin30°/20= ，然而此时的B≈48.6°或B≈131.4°，相应地C和c也应该有两组解。
通过以上两例解答的比较学生的答题谨慎度将能得到较大提高。
7.准备充分，挑战实战
在对理论知识有了充分的了解和认识后，就应该回到我们最初的目标――解决实际问题中去，以达到学以致用。构造三角形，利用正余弦定理，通过测量一些可以直接量得的边和角的数据来间接计算出不可直接测得的山高。由此学生不仅体会到了知识的伟大，还得到了学习的动力，学习积极性必将大大提高。
参考文献：
［1］“排列、组合”单元的教学体会――优化和发展学生教学认知结构的再认识.中国论文下载中心，2007.4.
［2］何小亚.数学学与教的心理学.华南理工大学出版社，2004.7.
［3］陈学军.数学教学中学生学习策略的教学与培养.中学数学教学参考，1999.4.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
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