极值点偏移构造对称式_对称原理在有条件极值问题中的运用与研究
时间：2019-02-10 03:16:41 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
摘 要: 将对称原理用于高等数学的思维方法中,给出了一类复杂的有条件极值问题的简明解题思路,也是数学美学的体现与运用。 关键词: 对称原理 Lagrange 乘数法 有条件极值
1.引言
对称性,通常指某些具有关联或对立的概念。事物通常显示出对称性。对称原理不是一个定律,而是一种思维方式,是指具有对称性的事物或系统,应该是某种规律的体现。对称美[1],[2]是数学美之一。
对称性在各学科的分析中起着决定性的作用,对称性制约物理定律的形式得到最好的体现。对称性在自然科学的基础研究中显示出其重要地位。例如,物理学家通过对称性分析找出不同经历的作用量,从而确定具体领域的基本定律。物理学家们研究一个新的领域,常常是试探地分析其中的对称性,在描述这个世界的作用量公式中增加一些描述新领域的项,从而得到该领域的新的基本定律。不论是数学基本定理还是自然科学原理中,我们经常遇到,当各变量相同时,函数值取得极值或系统状态达到平衡态。例如我们曾见到的算术-几何平均不等式(the Arithmetic-Geometric Mean Inequality),即n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数,只有当n个正数都相同时,即对称时,n个正数的算术平均数才等于它们的几何平均数。又如周长一定的n边形中,当各边相同,即正n边形的面积最大。在物理学中,当光的折射定律符合费马原理,即当入射角和反折射相等时,光线能以最小耗时从一点经反射到达另一点。对称原理是自然界规律的一种表现,我们不仅要熟悉这种美,还要在科学研究中生活中用到这种美,让用美学观点处理问题成为一种直觉能力。
在高等数学中,极值问题是其中的重要内容之一。我们一方面要学习用有关原理,如求驻点、用Lagrange乘数法等基本方法求解,另一方面也要学会用数学美的观点来审视这些问题。本文从对称原理在求有约束条件下对称方程的极值问题来看数学对称美的运用。
2.对称原理在有约束条件下对称方程极值中的运用
对称函数F(x)=F(x,x,L,x)指当自变量的任意两个或几个变换位置后,函数不变,则函数F(x)为对称函数。若F(x)为对称函数,F(x,x,x)=0称为对称方程。如F(x,x,x)=x+x+x-m为对称函数,F(x,x,x)=0为对称方程。
利用Lagrange乘数法求多元函数F(x)=F(x,x,L,x)在区域D上有约束条件φ(x,x,L,x)=0的最值时,常常会遇到两个麻烦:即证明驻点方程解的唯一性和区域边界的讨论。一般地,如果有唯一驻点,区域是闭区域,则只要比较驻点处的函数值与边界点的值即可知道驻点是否为极值点,若是,则表明此极值点就是最值点。但问题是对于多元函数,有时求解驻点是非常困难的。如下面的问题4[3]:
问题1设x>0,i=1,2,L,n,n≥3。求函数:
Z=F(x)=F(x,x,L,x)=(-x)(1)
在约束条件x=1下的最值。
若利用数学分析教材或高等数学上介绍的常规Lagrange乘数法,则很难求得驻点方程组的解。
注:这是《数学通讯》2002年第19期上提出的一个猜想[4],文用一种方法证明了问题4的驻点至少有n-1个分量是相等的,再讨论它的边界,最后解决了问题。但该方法还是很复杂的且不知道还有多少个极值点。
这个问题如果用对称原理来考虑则会得到简明的证明方法,且定理具有广泛的推广性。我们会想到,目标函数是对称函数,它的解应该有某种特殊性;目标函数与有对称性的约束条件,它的解也应该也有某种规律性。
问题1之所以难是因为变量是n维的。如果当n=2,则变量是2维的,且Z=F(x,x)是一个三元函数,我们可利用空间解析几何获得一些帮助,这样问题的求解将是不难的。我们根据对称性提出一些猜测,证明几个不难的定理后,就可以处理比问题1还广泛的一类问题了。
以下定理只说明极值为极大值,对于极小值同理可证。
定理1.设对称多元函数F(x)=F(x,x,L,x)(n≥2),在区域D上有约束条件x(l>0)下,若F(x)有唯一极大值点X=,则必有=(,,L,)。
证明:用反证法。设≠(,,L,),则的分量中必然至少有两个不相等。不妨设=(a,a,L,a),且有a≠a。由F(x)的对称性,则(a,a,L,a)也应为原函数的极值点,这样与极值点的唯一性矛盾。故原命题成立。[证毕]
定理2.设对称多元函数F(X)=F(x,x,L,x)(n≥2),在闭区域D上,约束条件为:x=l(l>0)。若当n=2时对任意的l>0,函数F(X)有唯一极大值点X=(x,x,L,x),则对称多元函数F(x)=F(x,x,L,x)(n≥3),在区域D上有对称约束条件x=l(l>0)下也唯一极值点,并且极大值点=(,,L,)。
证明:用反证法。设F(X)=F(x,x,L,x)(n≥3),x=l用两个不同的极值点,分别是:=(a,a,L,a),=(b,b,L,b),≠,f()=f()。则必有≠(1,1,L,1),即中分量不全相等,不妨设a,a不全相等。现考虑F(X)=F(x,x,a,L,a)(n≥3),x+x=l-x。由定理1及定理2的条件知,x,x全相等时,即x=x=(l-a),令c=(l-a)。这时F(c,c,a,L,a)>F(a,a,a,L,a),与是极大值点矛盾。[证毕]
注:用定理2来求解问题1则是非常简单了。求解过程从略。
定理3.设(1)对称多元函数F(X)=F(x,x),在区域D上,对任给l>0,在约束条件ax+ax=l((a,a)∈?�×?�)下,函数F(X)有唯一极值点X=;
(2)在有约束条件x=l(l>0)下,当n=2时对任意的l>0,函数F(X)有唯一极值点X=(x,x)l;则对称多元函数F(X)=F(x,x,L,x)(n≥3),在区域D上有非对称约束条件bx=l(l>0)下也有唯一极值点。
证明:用反证法。设F(X)=F(x,x,L,x)(n≥3),x=l用两个不同的极值点,分别是:=(a,a,L,a),=(b,b,L,b),≠,f()=f()。则必有≠(1,1,L,1),即中分量不全相等,不妨设a,a不全相等。现考虑F(X)=F(x,x,x,a,L,a)(n≥3),x+x=l-x。由定理1及定理2的条件知,x,x,x全相等时,即x=x=(l-a),令c=(l-a)。这时F(c,c,a,L,a)>F(a,a,a,L,a),与=(a,a,L,a)是最大值点矛盾。[证毕]
注:根据这个定理我们可以先证明,对于任意一个l>0,只要F(X)=F(x,x)在条件x=l时有唯一极值点即可,而这是容易做到的。
3.结语
对称原理是一种思维方式,对称性经常在事物的规律中表现出来。当系统或数学函数以对称形式出现,则必含有某种特征或特殊解的形式。我们可以让对称美成为我们的一种思维习惯,在求解问题时,可先根据对称性作出合理推测,再作进一步考虑。
参考文献:
[1]刘学鹏.对称矩阵和谐的外在美和内在美[J].高等理科教育,2004,(2):80.
[2]苏海军.高等数学中的美学思想刍议[J].四川文理学院学报(自然科学),2008,18,(5):7.
[4]杨先义.一个不等式的推广[J].数学通讯,2002,(19):29.
[5]马统一,李劲.巧用Lagrange乘数法求一类多元对称函数的条件最值[J].大学数学,2004,20,(3):108.
基金项目:浙江财经学院教改项目。
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