椭圆的标准方程教案 椭圆方程的解法浅析
时间：2019-01-29 03:28:50 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
摘 要：在高中阶段，解析几何是数学中的一个重点和难点，而椭圆则又是解析几何中的一个重点。文章就如何学好椭圆方程，总结了一系列的解法。 关键词：数学 椭圆方程 解法
在高中阶段，解析几何是一个重点和难点，而椭圆则是解析几何的一个重点，在刚刚学习椭圆时，对于怎样求椭圆的方程，绝大多数同学会觉得比较困难，其实求椭圆方程关键是注意数形结合，函数与方程的思想，等价转化的运用，熟悉椭圆的标准方程和相关性质，进行对椭圆方程的求解，那么求椭圆方程的常见方法有哪些？通过十几年的教学，我对它进行了总结，常见的有以下几种方法。
方法一：直接利用椭圆的定义求椭圆方程。椭圆有第一定义和第二定义，用这两种定义在不同的条件下用不同的方法求椭圆的方程。
例1：已知动圆M过定点A（－3，0），并且在定圆B：（x-3）2+y2=64的内部与其相切，求动圆圆心M的轨迹方程.
分析：根据圆的性质和椭圆的第一定义进行处理，注意轨迹和轨迹方程的区别。
解：定圆B的圆心是（3，0），半径是8
设动圆M与定圆B内切与点C，则点M，B，C三点共线且MB+MC=8，所以MB+MA=8，即动点M到两个定点A，B的距离的和为常数8（大于AB=6）。
则点M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，且2a=8，2c=6，所以a=4，c=3，b2=a2-c2=7，动圆圆心M的轨迹方程是+=1。
例2：求中心在原点，过点1，， 一条准线为-4=0的椭圆方程。
分析：直接利用椭圆的第二定义进行处理。
解：设椭圆右焦点为F（c，0），d为1，到椭圆右准线的距离，则=． 即= ①
曲准线方程为x==，得=c ②
②代入①，化简得c1=，c2=，
解得c1=，c2=，代入②及a2=b2+c2，得a12=4b12=1，a22=b22=.
所求椭圆的方程为+y2=1，+=1．
方法二：用待定系数法求椭圆方程。待定系数法是用椭圆方程中的待定系数如a，b，c等先看成已知，后根据条件解出a，b，c等。
例3：已知椭圆的中心是坐标原点，对称轴是坐标轴,一个焦点为（2，0），且经过点M（2，），求这个椭圆的标准方程。
分析：根据已知条件把椭圆假设成标准方程的形式。
解：∵椭圆的焦点在x轴上
∴设它的标准方程为+=1（a＞b＞0）
∵椭圆的中心是坐标原点,一个焦点为（2，0）
∴椭圆另一个焦点为（-2，0）
∴由椭圆的定义可知
2a=+=6
∴ a=3
∵ c=2，∴ b2=a2-c2=9-4=5
∴所求的椭圆的标准方程为+=1
例4：已知椭圆经过点（-，）和（，），求此椭圆的标准方程。
解：设椭圆的标准方程+=1（m＞0，n＞0，m≠n）
则有+=1+=1，
解得m=6，n=10。
所以，所求椭圆的标准方程为+=1
方法三：利用新设定适当的坐标系求椭圆的方程。这方法一般原题目没有坐标系，要求自己设定适当的坐标系进行解题。
例5：已知三角形的底边BC＝16，AC和AB两边上的中线长之和为30，求此三角形重心Ｇ和定点Ａ的轨迹方程．
分析：本题要注意一定要设最合适的坐标系，使得解题变得最简单。
解：以BC边所在直线为x轴，BC边的中点为坐标原点建立直角坐标系
设Ｇ（x，y），由GC+GB=×30=20
知Ｇ点的轨迹是以Ｂ、Ｃ为焦点，
长轴长为20的椭圆且除去x轴上的两顶点
则方程为+=1（y≠1）
例6：如图所示，我国发射的第一颗人造地球卫星运行轨道是以地心（地球的中心）F2为一个焦点的椭圆，已知它的近地点A（离地面最近的点）距地面439km，远地点B（离地面最远的点）距地面2384km，并且F2、A、B在同一直线上，设地球半径约为6371km，求卫星运行的轨道方程（精确到1km）。
解：建立如图所示直角坐标系，使点A、B、F2在x轴上，
则a-c＝OA－OF2＝F2A＝6371＋439＝6810
a+c＝OB－OF2＝F2B＝6371＋2384＝8755
解得a＝7782.5，c＝972.5，b===≈7722
卫星运行的轨道方程为+=1
方法4：中间变量代换法求椭圆方程。一般在椭圆上的点的坐标设而不解，大多情况要用根和系数的关系对已知条件进行适当的运算和处理，而处理的方法基本多有固定的方法。
例7：若中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆与直线x+y=1交于A、B两点，M为AB的中点，直线OM（O为原点）的斜率为，且OA⊥OB，求椭圆的方程。
解：椭圆的方程ax2+by2=1，
A（x1，y1），B（x2，y2），M（，）.
由x+y=1ax2+by2=1消去y得（a+b）x2-2bx+b-1=0，
∴=，=1-=,
∴M（，），
∴由kOM=得b=a ①
又OA⊥OB，∴x1x2+y1y2=0，
即x1x2+（1-x1）（1-x2）=0，2x1x2-（x1+x2）+1=0，
∴-+1=0，∴ a+b=2 ②
联立①②得a=2（-1），b=2（-1）
∴方程为2（-1）x2+2（-1）y2=1.
方法5：利用椭圆系求椭圆方程。对于椭圆方程中，一些具有共同特点的可以用统一的方程来求解，例如具有共同的焦点，共同的离心率，焦点不确定在哪一个轴等，都可以利用椭圆系求椭圆方程这里就不再举例。
其实，中学求椭圆的方法还有其他方法，但主要的方法我认为是上面的几种，这几种方法包含大多数求椭圆方程的情况，还有不全的地方请同行指正。
作者单位：江苏省建湖县职业技术教育中心
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