[高等数学竞赛的绝对值与最值] 高等数学竞赛
时间：2019-01-10 03:24:59 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
摘 要： 本文作者结合往届的高等数学竞赛试题，分析了与绝对值有关的最值问题的三种类型，就每种情形归纳了解决绝对值问题的方法，对于参加高等数学竞赛和拓展高等数学知识与技能具有指导意义。
关键词： 高等数学竞赛试题 绝对值 导数 最值
绝对值函数是中学数学中重要的一元函数，它的连续性，最值，单调性等都有非常直观的几何解释.高等数学是中学数学的直接后继课程，运用高等数学解决实际问题往往要处理一些包含绝对值的问题.所以，必须熟练掌握解决绝对值问题的方法.
高等数学竞赛旨在提高学生运用数学知识解决问题的能力，培养学生的创新思维，推动大学数学教学体系、教学内容和方法的改革［１］.各省（市）高等数学竞赛往届试题中有大量关于绝对值的问题，下面结合高等数学竞赛试题归纳绝对值与最值的类型和解决问题的方法.
1.用绝对值定义函数的最值问题
第一类问题，用绝对值定义函数.通常做法是对定义域进行分割，去掉绝对值，将函数尽量简化.
例1.2005年浙江省高等数学竞赛（文专类）题：求函数f（x）=|x|+|x-1|+|x-3|的最小值.
评注：这事实上是中学数学问题.由于函数x，x-1，x-3分别在x=0，1，3的两侧变号，因此需要将实直线分割为4个子区间，然后化简函数.在多元函数中也存在绝对值定义函数的最值问题.
例2.陕西省第七次大学生高等数学竞赛复赛试题：求函数f（x，y）=max{|x-y|，|x+y|，|x-2|}的最小值［２］.
评注：将多元函数中绝对值去掉要麻烦得多.这个问题中x-y，x+y，x-2分别在直线y=x的上下两侧变号，在直线y=-x的上下两侧变号，以及在直线x=2左右两侧变号，因此用这三条直线可以将xoy平面分割为7部分，然后在每个区域上化简函数f（x，y）.在每个区域中f（x，y）都是关于x和y的一次函数，于是两个偏导数都是0，因此在区域内部f（x，y）不可能取到最小值，最值点只可能位于区域的边界上.比较边界线y=x，y=-x和x=2上点的函数值，得到minf（x，y）=2，（x，y）∈R.
第二类方法是使用最优化理论方法.此种问题事实上就是凸规划问题，根据最优化理论可知：凸函数在凸区域的最值只在区域的边界上取到［３］.在例2中，用三条线将平面分割为7部分，每个部分都是平面上的凸集，而化简后的f（x，y）是线性函数因此也是凸函数，f（x，y）只能在这7部分的边界上取到最值.
2.已知最值求参数问题
第二类问题，已知最值（或极值），计算其中所含参数的值.通常的办法是先计算不含有绝对值函数的最值（或极值），然后取绝对值后比较这些点处函数值的大小，得出参数的值.
例3.2008年浙江省高等数学竞赛题［４］：求常数的值使得|cosx+x-t|=π.
评注：首先计算函数g（x）=cosx+x-t在区间［0，2π］的极值问题.由于g（x）单调增加，所以|g（x）|的最大值一定在区间端点处取到，比较|g（0）|和|g（2π）|可得t=x+1.
例4.2011年浙江省高等数学竞赛题（文专类）［５］：求a的值，使得函数f（x）=|x-4x-a|在［-2，2］上的最大值为2.
评注：作变量代换y=x后问题等价于f（y）=|y-4y-a|在上［-4，4］的最大值为2.先计算绝对值之内的函数的极值点，因为是抛物线，因此最大值一定在对称轴或区间端点处取到，比较这些点的函数值即可得到a=-2.也可以直接计算g（x）=x-4x-a在［-2，2］上的极值，再比较这些点和区间端点处函数值的大小可得结果.
3.绝对值积分的最值问题
第三类问题，定积分中被积函数包含绝对值，求其最值问题.
例5.2011年浙江省高等数学竞赛（文专类）题：计算?蘩|x-t|dx.
评注：解决此类问题的通常方法是根据积分变量的取值范围，将积分区间进行分割，使每个区间中被积函数不含有绝对值，积分后再利用积分区间可加性计算积分.本例中将积分区间分割成［0，］和［，1］两个区间后分别积分得到?蘩|x-t|dx=t-t+.然后计算在［0，1］上的最大值即可得结果2/3.
例6.2009年浙江省高等数学竞赛题：求g（x）=?蘩|x-t|edt的最小值.
评注：类似于例5，根据参数不同取值划分区间，去掉绝对值.因为研究的是最值，所以不必要（有时候是不能）将积分先计算出来然后讨论最值.第二种处理方法是直接研究这些积分表示函数的单调性，从而得出最值.令A=?蘩edt＞0（这个积分无法用牛顿――莱布尼茨公式计算出来），则x＜1当时，g′（x）=-A；当x＞1时，g′（x）=A；当-1≤x≤1时，g′（0）=0，g″（x）=2e＞0，因此g（x）在x=0在取到最小值.
4.结语
高等数学（微积分）中绝对值和其他问题结合往往会增加问题的难度，如何选择合适的方法去掉绝对值是解决此类问题的关键.一般方法是比较绝对值内部变量值的大小划分区间（或者区域）去掉绝对值后分段讨论.
参考文献：
［1］浙江省高校高等数学教学研究会.浙江省大学生高等数学（微积分）竞赛章程［EB/OL］.http：//www.zufe.省略/document.asp?docid=5520.
［2］陕西省第七次大学生高等数学竞赛复赛试题［J］.高等数学研究，2009，（02）：封面三.
［3］袁亚湘等.最优化理论与方法［M］.北京：科学出版社，1997.
［4］卢兴江，金蒙伟主编.高等数学竞赛教程（第四版）［M］.杭州：浙江大学出版社，2011.
［5］田增锋.浙江省高等数学竞赛题的几何思考［J］.考试周刊，2011，（40）：13-14.
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