二元一次方程的解法《二元一次方程组的图像解法》教学设计

时间：2019-01-10 03:18:03　来源：雅意学习网本文已影响人

　　一、分析教材　　（一）教材地位和作用。　　《二元一次方程组的图像解法》是苏科版义务教育课程标准实验教科书《数学》八年级（上册）第5章《一次函数》第5.5节内容．前面已经分别学习了一次函数和二元一次方程组，这节课研究二元一次方程组（数）和一次函数图像（形）的关系，是这两章知识的综合运用．渗透了数形结合的数学思想，强化了知识与知识的内在联系，并为今后研究方程、不等式和函数间的关系及高中解析几何的学习奠定基础．根据上述教材分析，考虑到学生已有的认知结构心理特征，我们制定了如下教学目标．
　　（二）教学目标。
　　【知识技能目标】
　　知道一次函数与二元一次方程组的关系，会用一次函数的图像求二元一次方程组的近似解．
　　【过程与方法目标】
　　经历一次函数与二元一次方程（组）关系的探索活动，感受函数与方程的辩证统一，感受数学知识与方法的内在联系，感受数学在数学内部的应用是推动数学发展的动力之一．
　　【情感态度目标】
　　在探究活动中培养学生严谨的科学态度和勇于探索的科学精神；在师生、生生的交流互动中，学会与人合作，体验数学的价值，建立自信心.
　　（三）教学重点、难点。
　　【教学重点】
　　会利用一次函数的图像求二元一次方程组的近似解.
　　【教学难点】
　　数与形的内在联系分析．
　　（四）教学方法与教学手段。
　　【教学方法】
　　启发讲授，小组讨论，合作探究．
　　【教学手段】
　　运用多媒体辅助教学，结合实物投影进行集体交流，及时反馈相关信息．
　　（五）教具准备。
　　三角尺，实物投影仪，格点纸．
　　二、教学过程
　　（一）问题情境。
　　问题1：你会求方程x－y－5＝0的解吗？
　　能否在直角坐标系中标出以方程组的解为坐标的点？
　　通过以上的观察你有什么样的结论？
　　巡视，并用实物投影展示学生的作图．
　　【设计意图】利用二元一次方程组的解有无数多个，通过方程组的解的表达形式，过渡到表格，让学生在直角坐标系中标出以二元一次方程组的解为坐标的点，体会其组成的图形与所学过的一次函数图像有关系，进而发现方程与函数存在着形式上的联系，并引导学生体会以方程x－y－5＝0的解为坐标的点都在一次函数y＝x－5的图像上．
　　即得到结论，一般地，一次函数y＝kx＋b图像上任意一点的坐标都是二元一次方程 kx－y＋b＝0的一个解；以二元一次方程kx－y＋b＝0的解为坐标的点都在一次函数y＝kx＋b的图像上．
　　第一次小结：利用一次函数的图像可以去求二元一次方程的解．
　　【练习巩固】
　　1．把下列二元一次方程写成y＝kx+b 的形式
　　（1）3x+y＝7；（2）3x+4y＝13．
　　2．（1）方程 x－y＝1有一个解为x=2y=1，则一次函数 y＝x－1图像上必有一点为?摇?摇?摇 ?摇.
　　（2）一次函数 y＝2x－4 的图像上有一点坐标为（3，2）则方程 2x－y－4＝0必有一个解为?摇?摇 ?摇?摇.
　　【设计意图】感受利用一次函数的图像与二元一次方程的解之间的关系．
　　（二）思考问题，提炼方法。
　　问题2：如何求二元一次方程组x-y=5x+y=3的解？
　　利用表格呈现二元一次方程组解的特点；
　　利用图像呈现一次函数的交点；
　　体会利用一次函数图像去解方程组的方法．
　　【设计意图】学生思考之前总结的“利用一次函数的图像可以去求二元一次方程的解”，感受方程组的解与一次函数图像之间的联系、体会，总结二元一次方程组的图像解法．
　　第二次小结：一般地，如果两个一次函数的图像有一个交点，那么交点的坐标就是相应的二元一次方程组的解．
　　此时，引出课题：§5.5 二元一次方程组的图像解法
　　（三）感受知识，讲解例题。
　　练习巩固知识：
　　1．下面的图像可以看作是哪一个方程组的解？
　　2．若二元一次方程组x-2y=-22x-y=2的解为x=2y=2，则一次函数的图像y＝2x－2的与函数y=-x+4的图像的交点坐标为?摇?摇?摇?摇.
　　【设计意图】体会图像法解二元一次方程组的方法．
　　例题讲解：利用一次函数的图像解二元一次方程组x+2y=42x-y=3 .
　　解：由 x＋2y＝4，得y=-x+2;
　　由2x－y＝3，得y＝2x-3．
　　如图，它们的交点为P（2,1），所以二元一次方程组的解为x=2y=1.
　　课堂小结3：用图像法解二元一次方程组的一般步骤：
　　*将方程组中的每一个方程变形为一次函数的形式；
　　* 作出每一个一次函数的图像；
　　* 找出直线的交点；
　　* 写出方程组的解．
　　【设计意图】在例题之前，先投影学生的作业，为接下来规范书写做铺垫．通过例题，感受方法，规范解题的步骤．
　　（四）课堂小结。
　　感受函数图像与二元一次方程组的解组成的图形之间的联系，总结图像法求二元一次方程组近似解的策略．
　　（五）延伸与拓展。
　　如果二元一次方程组转化的一次函数的图像没有交点，那么这个方程组的解是什么？这样的方程组又有什么样的特征？
　　【设计意图】让不同的学生有不同的发展，对知识的完备性进行高层次的体验．
　　（六）布置作业。
　　1．阅读课本，感受本节课内容。
　　2．必做题：课本书后练习 1、2、3。
　　3．选做题：延伸与拓展中提到问题。
　　三、教学反思
　　（一）课程标准认为，方程与函数都是描述现实世界的有效模型，要求在教学中加强两者之间的联系，介绍方程的图像解法。而方程或方程组的图像解法，是基于方程的图像（函数图像）基础之上的，这也就是本教科书先介绍一次函数，再研究二元一次方程组的原因所在。得到二元一次方程组的图像解法，并非本节课的最终目的，因为对于二元一次方程组，一般不用图像求近似解。但对于一些高次方程、无理方程、超越方程的求解，画图像的方法则更具一般性。因此，本节无疑为学生的后继学习打下了良好的基础。
　　（二）本节课主要探究了一次函数和二元一次方程（组）的关系，它是学生在初步理解和掌握一次函数的定义、图像和性质后的进一步扩充，是对一次函数及其相关内容更深入更全面的学习，是从函数的角度对前面学习过的二元一次方程组的再认识与再分析，这种再认识不是原来水平上的回顾复习，而是站在更高的起点上的动态分析。另外，本节课中蕴含的数学思想方法如数形结合等在以后的教学中还有相当广泛的应用，从这个角度讲，本节课也为学生的后续学习作了很好的铺垫。
　　（三）有的老师认为本节课只要能会做一些常见的基本的题目即可，无需在过程上面花大力气精心设计和引导学生探究，但往往忽视了它的另一个侧面：“创造过程中的数学，看起来却像一门实验性的归纳科学”（波利亚）。《数学课程标准》强调过程，强调学生探索新知识的经历和获得新知识的体验。在这个环节的活动中，我从学生已有的知识经验出发，让学生通过动手描点、画图、观察、讨论，自己推测可能得到的结论，从而培养学生直觉猜想的能力；同时，让学生进行交流、辩论，完善认知结构，让其经历前人发现数形结合这种数学思想方法的思维历程，增长了学生的智慧，培养了学生的良好思维品质。
　　注：“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”
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