例析直线上动点与两定点的距离和的最值问题:点到直线的距离公式
时间：2019-01-07 03:29:46 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
在公路的两侧，有两个村庄A、B，现在要在公路上修建一个加油站，问：怎样建，才能使加油站到两个村庄的距离和最短？ 这是一道比较容易解决的问题，只要连接AB，则AB与l的交点就是加油站，因为两点之间线段最短。
如果在公路l的同侧，有两个村庄A、B，那么这个问题又该怎样解决呢？
如图2，作A关于l的对称点A′，连接A′B与l的交点P就是加油站了，为什么呢？
在l上任取一点P′，连P′A、P′A′、P′B，由三角形两边之和大于第三边可知：P′A+P′B=P′A′+P′B＞A′B。
这就是运用轴对称变换找到的一种最巧妙的解题方法。近年来，许多省市中考试题中都出现了以此题为背景的试题，所考查的深度和广度也在不断演变、拓展，又常与其他的数学知识相联系，数形结合，突出了数学的思维价值和应用能力，能够有效体现学生的数学学习能力。本文从近几年中考试题中选取与此相关的试题来分类说明，以供广大读者参考。
1.演变成与菱形有关的试题
例1：（2008广东）菱形ABCD中，∠BAD=60°，点M是AB的中点，点P是对角线AC上一个动点，若PM+PB得最小值是3，则AB长为.
解：如图3，因为四边形ABCD是菱形，所以点B关于直线AC的对称点是点D.连DM，则线段DM的长就是PM+PB的最小值.
∵∠BAD=60°
∴△ABD是等边三角形
∵M是AB的中点
∴DM⊥AB∴AD==2=AB
2.演变成与正方形有关的试题
例2：（2009抚顺）如图4，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）.
A.2B.2C.3D.
解：正方形ABCD是轴对称图形，AC是对称轴，D关于AC的对称点位B。所以连接BE与AC交于点P，这时PB+PE最小，即正方形ABCD的边长为2.所以选A.
3.演变成与圆有关的试题
例3：（2009龙岩）如图5，AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径.AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F。P为EF上的任意一点，则PA+PC的最小值为.
解：∵A关于MN的对称点为B
∴连接BC与MN交于点P，这时PA+PC最小
易知：EO==3，FO=
∴EF=3+4=7
过C作CG⊥AB于点G，如图6，则CG=EF=7
AG=4-3=1
∴BG=8-1=7
∴BC=BP+PC=PA+PC=7
∴PA+PC的最小值为7
4.演变成与三角形有关的试题
例4：（2009陕西）如图7，在锐角△ABC中，AB=4，∠BAC=45°∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点。则BM+MN的最小值为.
解：（如图8）过B作BG⊥AC于G，交AD于M.过M作MN⊥AB于N
则MN+MB=MG+MB是最短值
∴BM+MN最小值等于4
5.演变成与直角坐标系有关的试题
例5：（2009孝感）在平面直角坐标系中，有A（3，-2），B（4，2）两点。现另取一点C（1，n），当n= 时，AC+BC的值最小.
解：如图9，找出A点关于直线x=1的对称点A′（-1，-2），则经过B、A′的直线解析式为y=x-.
当x=1时，n=-.
6.演变成与二次函数有关的试题
例6：（2009乌鲁木齐）如图10，在矩形OABC中，点A、C的坐标分别为（4，0），（0，2）.D为OA中点，设点P是∠AOC的平分线上的一个动点.（不与点O重合）
（1）求证：无论点P运动到何处，PC=PD.
（2）当点P运动到与点B距离最小时，求过O、P、D三点的抛物线的解析式。
（3）设点E是（2）中所确定的抛物线的顶点，当点P运动到何处时，△PDE的周长最小？求出此时点P的坐标和△PDE的周长。
解：（1）证明：易知△POC≌△POD，得PC=PD.
（2）过点B作∠AOC的平分线的垂线.
垂足为P，点P即为所求（如图10）.
易得此时P点坐标为（2，3）.二次函数解析式为y=x-2x.
（3）如图11，找到D关于角平分线的对称点C，连EC与∠AOC的平分线的交点即为所求的点P.
∵PE+PD=CE
∵E（1，-1），C（0，2）
∴CE所在直线的解析式为y=-3x+2
由y=-3x+2y=x解得x=y=
∴P点坐标（，）
7.演变成综合型试题
例7：（2009舟山）如图12，已知点A（-4，8）和点B（2，）在抛物线y=ax上.
（1）求的值及点B关于轴对称点P的坐标.
（2）平移抛物线，经平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，点C（-2，0）和点D（-4，0）是轴上的两个定点.
①当抛物线向左平移到某个位置时，A′C+CB′最短，求此时抛物线的函数解析式.
②当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形A′B′CD的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由.
解：（1）将点A（-4，8）的坐标代入y=ax，解得a=.将点B（2，n）的坐标代入y=x，解得B坐标为（2，2），
则B点关于轴对称点P的坐标为（2，-2），
直线AP的解析式是y=-x+，
令y=0，得x=.
∴Q点坐标是（，0）
（2）①解法1：CQ=|-2-|=
故将抛物线y=x向左平移个单位时A′C+CB′最短，此时抛物线的函数解析式为y=（x+）.
解法2：如图13，设将抛物线y=x向左平移个单位，则平移后A′，B′的坐标为A′（-4-m，8）和B′（2-m，2），点A′关于轴对称点的坐标为A″（-4-m，-8）.直线A″B′的解析式为y=x+m-.要使A′C+CB′最短，点C应在直线A″B′上.将C（-2，0）代入直线A″B′的解析式，解得M=.
故将抛物线y=x向左平移个单位时A′C+CB′最短，此时抛物线的函数解析式为y=（x+）.
②（如图14）左右平移抛物线y=x，因为线段A′B′和CD的长是定值，所以要使四边形A′B′CD的周长最短，只要使A′D+CB′最短.
第一种情况：如果将抛物线向右平移，显然有A′D+CB′＞AD+CB.
因此不存在某个位置，使四边形A′B′CD的周长最短.
第二种情况：设将抛物线向左平移了b个单位.
则点A′和点B′的坐标分别为A′（-4-b，8）和B′（2-b，2）
∵CD=2，因此将点B′向左平移2个单位得B″（-b，2）
要使A′D+CB′最短，只要使A′D+DB″最短
直线A″B″的解析式为y=x+b+2
要使A′D+DB″最短，点D应在直线A″B″上，将点D（-4，0）代入直线A″B″的解析式，解得b=.
故将抛物线向左平移时，存在某个位置，使四边形的周长最短，此时抛物线的函数解析式为y=（x+）.
综上所述，解决动点与两定点的距离和的最值问题，要数形结合，往往先用“对称”的方法转化为两点之间的距离问题。利用两点之间线段最短，找出相应的位置及最值。此类问题较为自然地考查了正方形、梯形、圆、坐标及函数的相关知识，同时也考查了化归思想、分类讨论思想，较好地落实了新课标对应用能力的要求。
参考文献：
［1］王柏校.中学数学，2010，4.
［2］天利38套，2009.
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