哥尼斯堡七桥问题在高考中应用:哥尼斯堡七桥问题
时间：2018-12-24 03:36:32 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
摘 要：在数学教学和学习过程中把抽象、概括和具体化结合起来是非常重要的。哥尼斯堡七桥问题就是很好的一个例子。 关键词：哥尼斯堡七桥 一笔画 抽象
18世纪，东普鲁士哥尼斯堡有条普莱格尔河，这条河有两个支流，在城中心汇成大河，市内有七座各具特色的大桥，连接岛区和两岸。每到傍晚或节假日，许多居民来这里散步，观赏美丽的风光。年长日久，有人就提出这样的问题：能否从某地出发，经过每一座桥一次且仅一次，然后返回出发地？
思考方法：数学中的图论，最早就开始于哥尼斯堡七桥总问题。这个问题很长一段时间没有得到解决。1735年，有几名大学生写信给欧拉，请他帮助解决。欧拉经过反复思索，敏锐地看到，整个问题与所走路程无关；而且，整个岛区与河岸无非就是桥梁的连接地点。因此，欧拉把两个岛和河两岸抽象为四个点，把七座桥抽象为七条线。这样，七桥问题便抽象为能否一笔画出图的问题。
大数学家欧拉解决这一问题的思维程序是：
欧拉在此基础上概括出一笔画的理论问题，证明了一个网络是一笔画的充要条件为：它连通并且奇次点个数等于0或2（一个点是奇次的；如果与该点关连的边是奇数条）。
数学家欧拉找到一笔画的规律是：
1. 凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。画时可以把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。
2. 凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点），一定可以一笔画成。画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点终点。
3. 其他情况的图都不能一笔画出。(有偶数个奇点除以二便可算出此图需几笔画成。)
能否一笔画是由图的奇、偶点的数目来决定的。
比如附图：（a）为（1）情况，因此可以一笔画成；（b）（c）（d）则没有符合以上两种情况，所以不能一笔画成。
一笔画问题是一个简单的数学游戏，即平面上由曲线段构成的一个图形能不能一笔画成，使得在每条线段上都不重复？例如汉字“日”和“中”字都可以一笔画的，而“田”和“目”则不能。
欧拉的一笔画理论在最近的高考中非常常见。有些问题用其它方法可能不是那么容易，但用了一笔画理论就简单得多。
下图是2008年北京奥运会的会徽，其中的“中国印”由四个色块构成，可以用线段在不穿越其他色块的条件下将其中任意两个色块联接起来（如同架桥），如果用三条线段将这四个色块联接起来，能有多少种不同的联接方法？
实际上联接方法的多少与色块的度量关系及绝对位置无关，只与色块的相对位置相关，我们可以将色块联想为平面内的四个点，则问题化归为“用三条线段将四个点联接成一个整体，有多少种联接方法？”见图（二），结果为16种，这正是大数学家欧拉解决哥尼斯堡“七桥问题”的思想方法，体现着问题解决者的数学能力和数学素养；体现着问题解决者鲜明的时代特点。
2008年上海春季招生数学高考试卷第10题就是一道充分利用一笔画理论去求解的考题。题目：古代“五行”学说认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金。”将五种不同属性的物质排成一列，设事件A表示“排列中属性相克的两种物质不相邻”，则事件A出现的概率是（结果用数值表示）_________：
仔细思考，要组成满足条件的数，实际上只需从五个顶点中的任一个顶点的数字出发，按隔一位的路线走下去，最后回到原来出发点，这样一条线路上的五个数字正好构成满足条件的一个五位数，也就是用一笔画画五角星的一条路径所经过的五个顶点上的数字构成的五位数，如图6从数字1出发，按路径1→4→2→5→3→1及逆向路径1→3→5→2→4→1所得到两个满足条件的五位数14253和13524，这样可以从五个不同顶点出发，共可组成10个，所以事件A的概率为P(A)=■。
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
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