胡彬_跳板高手,设而不求胡彬
时间：2020-02-23 07:32:04 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
数学 导读：解析几何是当之无愧的难点和重点，形式多样，计算量大。本期的两篇文章都注重了解题时的思维过程，要做得对，更要做得巧。 自主招生笔试即将到来，特意选了一篇相关文章，供有需要的同学参考。
数学中有一类题目，解题时往往要考虑很多变量，而某些变量只作为解题的纽带，也即并不是每一个量都要求出最后结果，但是解题过程必须要考虑它。近几年，这一类题成为了高考卷的宠儿，解答这类题通常采用“设而不求”的方法。其中，在解答圆锥曲线题时“设而不求”思想的运用表现得最为突出。
在解决椭圆或双曲线的相关问题时，我们常常遇到这样的条件：椭圆或双曲线上有不重合的两个点A、B。可以肯定，这样的两个点一定会和我们要解决的问题存在内在联系的，但是，我们所关心的是通过一种什么样的途径去揭示这种联系，从而达到解决问题的目的。下面我们介绍三个就以椭圆及双曲线为背景，通过运用“设而不求”的解题方法，既减少了运算量，又高效而快捷解决问题的例子。
一、“设而不求”----构造直线的斜率及中点坐标求变量的取值范围
例1 已知椭圆 ，A、B是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与 轴交于点 ，求 的取值范围。
解：设 ，代入椭圆方程，可得
，
让以上两式作差并整理，可得
又直线AB的斜率与其垂直平分线的斜率互为负倒数。
即
∵
，
可得
点评：该题的解答一开始就设出了椭圆上的A、B两点： 。但是，在整个解答过程中并没有解出A、B两点，而是利用设出的 作为解题的“跳板”，用点 的坐标构造线段AB的斜率 及中点坐标 ，从而达到所要解答的结果。以上解答过程非常简洁，运算量也明显的少。
二、“设而不求”----通过运用斜率公式及韦达定理求得椭圆的方程
例2 已知椭圆的中心在原点，且以坐标轴为对称轴，它与直线 相交于A，B两点，C是AB的中点，且 ，OC的斜率是 ，求椭圆的方程。
解：设椭圆方程是 （这种设法避免了讨论焦点位置）， ， ，代入椭圆方程 ， 两式作差并整理，得
又因为， ，
所以
又由弦长公式得 ，
把直线方程 代入椭圆方程 得
由一元二次方程根与系数的关系及 得：
再把 代入
即解得 ，
所求椭圆方程为
点评：这道题的解答同样一开始设出了椭圆上的A、B两点： ，但是，从解答的过程中我们可以看到设出两点： 的目的在于表示直线AB与OC的斜率，接下来运用韦达定理结合题设告诉的条件 ，获得 与 的关系式。但是，整个解题过程都没有解出A、B两点，并且从整个过程来看运算量不大，解题思路也不复杂，这一过程就是标准的“设而不求”。
练习
是双曲线 ： 上一点， 分别是双曲线 的左、右定点，直线 的斜率之积为 。
（1）求双曲线的离心率；
（2）过双曲线 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于 两点， 为坐标原点， 为双曲线上的一点，满足 ，求 的值。
解：（1）已知双曲线E： ， 在双曲线上，M，N分别为双曲线E的左右顶点，所以 ， ，直线PM，PN斜率之积为
。
而 ，
比较得
（2）设过右焦点且斜率为1的直线L： 交双曲线E于A，B两点，则不妨设 ，
又 ，点C在双曲线E上：
（1）
又联立直线L和双曲线E方程消去y得：
由韦达定理得： ， 代入（1）式得： 。
点评：该题的第（1）与第（2）问的解答都用到了“设而不求”的解答方法。其中第（1）问中运用了题设条件中已经设好了的双曲线上的一点 ，通过点 构造了直线PM，PN斜率，再利用直线 的斜率之积为 这一条件获得了 与 的关系式，进而得到双曲线的离心率；第（2）问中设了，“设而不求”的运用在于通过设出的两点 能够用上韦达定理结合向量方程获得 的方程，从而解出 的值。该题两问的解答中对所设出点 、 及 都没有解出，仅仅是对其加以利用，起了一个“跳板” 的作用。于是我们可以对“设而不求”这一数学思想冠以解题中的“跳板高手”的美名。
责任编辑 李婷婷
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