如何判断函数零点个数_函数零点问题的探究
时间：2019-01-11 03:29:31 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
摘 要： 函数的零点是考纲上要求的基本内容，也是高中新课程标准新增内容之一，是函数的重要性质。它是沟通函数、方程、图像的一个重要媒介。因此处理函数零点问题时，需充分运用等价转化、函数与方程、数形结合等思想方法。本文主要归纳了关于函数零点的几种题型及其解法。
关键词： 函数零点 意义 概念 题型 解法
高中新课程标准在数学必修1第三章函数的应用中新增了函数的零点一部分.函数是中学数学的核心概念，核心的根本原因之一在于函数与其他知识具有广泛的联系性，而函数的零点就是其中的一个链结点，它从不同的角度，将数与形、函数与方程有机地联系在一起.
一、函数零点的意义
在系统地掌握了函数的概念及性质，基本初等函数知识后，学习方程的根与函数的零点之间的关系，并结合函数的图像和性质来判断方程的根的存在性及根的个数，从而掌握函数在某个区间上存在零点的判定方法，为“二分法求方程的近似解”和后续学习的算法提供了基础．因此方程的根与函数的零点的内容具有承前启后的作用，意义重大.
二、函数零点的概念
1．函数零点的定义
对于函数y=f（x）（x∈D），把使f（x）=0成立的实数x叫做函数y=f（x）（x∈D）的零点．
2．几个等价关系
方程f（x）=0有实数根?圳函数y=f（x）的图像与x轴有交点?圳函数y=f（x）有零点.
3．函数零点的判定（零点存在性定理）
如果函数f（x）=0在区间［a，b］上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f（a）•f（b）＜0，那么函数y=f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）=0，这个c也就是f（x）=0的根．
三、函数零点的题型及解法
【题型一】解方程：当对应方程易解时，可通过解方程，看方程是否有根落在给定区间上.
［例1］函数f（x）=x-的零点为________．
解析：由x-=0（x≠0）得：x-4=0（x≠0），
∴x=±2，即函数f（x）的零点为-2和2.
［知识迁移1］（2010•福建高考）
函数f（x）=x+2x-3（x≤0）-2+lnx（x＞0）的零点个数为（）
A．0 B．1C．2D．3
解析：令f（x）=0，得x≤0x+2x-3=0或x＞0lnx=2，
∴x=-3或x=e，∴答案为C.
［知识迁移2］已知函数f（x）=4+m•2+1=0有且只有一个零点，则实数m的值为?摇?摇?摇?摇.
解析：由题知：方程4+m•2+1=0只有一个零点．
令2=t（t＞0），
∴方程t+m•t+1=0只有一个正根，
∴由图像可知-＞0Δ=0，∴m＝-2.
小结：这类题型主要考查函数零点的有关知识，考查等价转化、函数与方程的思想等.
【题型二】利用函数零点的存在性定理进行判断.
［例2］已知函数f（x）=x+x+a（a＜0）在区间（0，1）上有零点，则a的范围为?摇?摇?摇?摇．
解析：由题意f（0）•f（1）＜0，
∴a（2+a）＜0，
∴-2＜a＜0.
［知识迁移1］（2010•天津高考）
函数f（x）=2+3x的零点所在的一个区间是（）
A．（－2，－1） B．（－1，0） C．（0，1） D．（1，2）
解析：由题意可知f（-2）=-6＜0，f（-1）=-3＜0，f（0）=1＞0，f（2）＞0，f（-1）•f（0）＜0，因此在区间（-1，0）上一定有零点.∴答案为B.
［知识迁移2］（2011•新课标全国高考）
在下列区间中，函数f（x）=e+4x-3的零点所在的区间为（）
A．（-，0） B．（0，） C．（，） D．（，）
解析：∵f（）=e+4×-3＜0，f（）=e+4×-3＞0，
∴f（x）=e+4x-3的零点所在的区间为（，）.答案为C.
小结：这类题型主要考查函数零点的有关概念、判断函数零点所在区间及函数零点存在定理等.
【题型三】通过画函数图像，观察图像与x轴在给定区间上是否有交点来判断．
［例3］判断函数f（x）=lnx+2x-6的零点个数．
解析：在同一坐标系画出y=lnx与y=6-2x的图像，由图可知两图像只有一个交点，故函数f（x）=lnx+2x-6只有一个零点．
［知识迁移1］（2009•山东高考）若函数f（x）=a-x-a（a＞0，且a≠1）有两个零点，则实数a的取值范围是?摇?摇?摇?摇．
解析：令g（x）=a（a＞0，且a≠1），h（x）=x+a，分0＜a＜1，a＞1两种情况．在同一坐标系中画出两个函数的图像.如图，若函数f（x）=a-x-a有两个不同的零点，则函数g（x）、h（x）的图像有两个不同的交点．根据画出的图像只有当a＞1时符合题目要求．
［知识迁移2］（2011•山东高考）已知函数f（x）=logx+x-b（a＞0，且a≠1）.当2＜a＜3＜b＜4时，函数f（x）的零点x∈（n，n+1），n∈N，则n=?摇?摇?摇?摇.
解析：令y=logx，y=b-x，函数f（x）的零点就是这两个函数图像交点的横坐标，由于直线y=b-x在y轴上的截距b满足3＜b＜4，结合函数图像，函数f（x）只有一个零点，因此n只能是1或者2或者3.f（1）=1-b＜0，f（2）=log2+2-b＜1+2-3=0，f（3）=log3+3-b＞1+3-4=0.根据函数零点存在性定理可得，函数f（x）的零点在区间（2，3）内，故n=2.
小结：这类题型主要考查函数的应用、函数零点的有关概念、一次函数、指数函数、对数函数的基础知识，考查分析问题、解决问题的能力，考查等价转化、数形结合的思想，等等.
根据以上的题型及解法分析，我们把函数的零点问题的解决总结为：判断函数在某个区间上是否存在零点，要根据具体问题灵活处理，当能直接求出零点时，就直接求出进行判断；当不能直接求出时，可根据零点存在性定理进行判断；当用零点存在性定理也无法判断时可画出图像判断．
从近几年的高考试题来看，函数的零点、方程的根的问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题．利用函数零点的存在性定理或函数的图像，对函数是否存在零点（方程是否存在实根）进行判断或利用零点（方程实根）的存在情况求相关参数的范围，是高考中常见的题目类型．
参考文献：
［1］张明亮主编.步步高•高考总复习•新课标.黑龙江教育出版社，2010.2.
［2］孙翔峰主编.三维设计•高考总复习•新课标.光明日报出版社，2011.4.
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