【例谈数形结合在初中数学中的应用】初中数学数形结合例题

时间：2019-01-08 03:26:00　来源：雅意学习网本文已影响人

　　数与形是现实世界中客观事物的抽象和反映，同时也是数学的基石。数学家华罗庚曾说：数缺形时少直观，形少数时难入微。只有数形结合，才能更好地进入解题的新天地。下面我就近几年的初中数学教学实际举例说明数形结合在初中数学的一些应用，以期抛砖引玉。
　　一、图景结合
　　图景结合是指运用图形提供一定的数学问题情境，通过对图形中的情境分析，抽象出数学本质问题，再利用所学知识去解释。
　　例：如图，小东的父亲在院子的门板上钉了一个加固板，从数学的角度看，这样做的道理是?摇?摇?摇?摇。
　　（答案：三角形具有稳定性）
　　分析：图景信息题主要是借助图形语言来描述问题情境，求解的关键是“转化”，即准确地把图形语言转化为文字语言。
　　二、图表结合
　　图表结合是指运用二维表提供数据关系信息，通过对表中的数据信息的分析、比较、判断和归纳，弄清表中各数据所表示的含义及它们之间的内在联系，然后利用所学的知识（方程、不等式、函数、统计等）解决问题。
　　例：光华农机租赁公司共有50台联合收割机，其中甲型20台，乙型30台，现将这50台联合收割机派往A、B两地区收割小麦，其中30台派往A地区，20台派往B地区。两地区与该农机租赁公司商定的每天的租赁价格见下表：
　　（1）设派往A地区x台乙型联合收割机，租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为y（元），求y与x间函数关系式，并写出x的取值范围；
　　（2）若使农机租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金总额不低于79600元，说明有多少种分派方案，并将各种方案设计出来；
　　（3）如果要使这50台联合收割机每天获得的租金最高，请你为光华农机租赁公司提出一条合理化建议。
　　分析：解本题的关键是要弄清：表头所反映的研究对象；表行（列）所反映数量关系。通过分析表中数据，找出它们的函数关系，利用函数知识解决问题。
　　（答案：（1）y=1600x+1800（30-x）+1200（30-x）+1600（x-10）=200x+74000，x的取值范围：10≤x≤30（x是正整数）。
　　（2）由200x+74000≥79600，得x≥28，由10≤x≤30，则x可取28、29、30，故有3种不同方案。
　　（3）由y=200x+74000得y随x的增大而增大，当x=30时，y有最大值80000。
　　三、图像结合
　　图像结合是指把要解决的问题借助图像的特征表现出来，通过对图像的解读、分析和判断，弄清所研究的对象（即坐标轴意义）和隐含的数论量关系，然后再根据图像特征及相关知识解决问题。
　　1.如图，L1，L2分别表示一种白炽灯和一种节能灯的费用y（费用=灯的售价+电费，单位：元）与照明时间x（小时）的函数图像，假设两种灯的使用寿命都是2000小时，照明效果一样。
　　（1）根据图像分别求出L1，L2的函数关系式。
　　（2）当照明时间多少时，两种灯的费用相等？
　　（3）小敏房间计划照明2500小时，他买了一个白炽灯和一个节能灯，请帮他设计最省钱的用灯方法（直接写出答案，不必写解答过程）。
　　分析：这类题最为关键之处在于读懂图像所表达的实际意义。观察图像可知，L1、L2都有已知两点坐标，从而可求其解析式，再从函数观点解题。
　　（答案：（1）L1：y=0.03x+2，L2：y=0.012x+20；（2）1000小时；（3）L2用2000小时，L1用1000小时）
　　2.某农场为防风治沙在一山坡上种植一片树苗，并安装了自动喷灌设备。一瞬间，喷水头喷出的水流呈抛物线。如图所示，建立直角坐标系，已知喷水头B高出地面1.5米，喷水管与山坡所成的夹角∠BOA约为63°，水流最高点C的坐标为（2，3.5）。
　　（1）求此水流抛物线的解析式；
　　（2）求山坡所在的直线OA的解析式；
　　（3）计算水喷出后落在山坡上的最远距离OA（精确到0.1米）。
　　分析：这类题的关键是把实际问题的数量准确地与图像进行整合，从而根据所学过的函数知识解题，再用函数观点与实际结合返回解题。
　　（答案：（1）y=-0.5（x-2）+3.5或y=-0.5x+2x+1.5；（2）y=0.5x；（3）4.2米）
　　四、由情景求图像
　　由情景求图像是指借助图景所反映的信息，通过对情景的分析得出情景与图像的内在联系，进而解决问题。
　　1.某兴趣小组做实验，将一个装满水的啤酒瓶倒置（如图4-1），并设法使瓶里的水从瓶口匀速流出，那么该倒置的啤酒瓶内水面高度h随水流出时间t变化的图像大致是（）。
　　分析：解本题的关键是理解图像的倾斜度与流速之间的关系。（答案：C）
　　2.“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看看缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到了终点。用S，S表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则下列图像中与故事情节相吻合的是（）。
　　分析：解本题的关键是理解图像的起点、终点在实际问题的意义。（答案：D）
　　五、由图像求情景
　　由图像求情景是指借助图像所反映的信息，通过对图像的分析得出图像与情景的内在联系，进而解决问题。
　　例：若用（1）、（2）、（3）（4）四幅图像分别表示变量之间的关系，
　　请按图像所给顺序，将下面的（a）（b）（c）（d）对应排序正确的顺序是（）。
　　（a）小车从光滑的斜面上滑下（小车的速度与时间的关系）
　　（b）一个弹簧不挂重物到逐渐挂重物（弹簧长度与所挂重物的重量的关系）
　　（c）运动员推出去的铅球（铅球的高度与时间的关系）
　　（d）小杨从A到B后，停留一段时间，然后按原速度返回（路程与时间的关系）
　　A.（c）（d）（b）（a） B.（a）（b）（c）（d）
　　C.（b）（c）（a）（d） D.（d）（a）（c）（b）
　　分析：解本题可采用排除法。（答案：A）
　　六、图案设计应用
　　图案设计应用是指根据一定的要求通过空间想象、动手操作来解决实际问题，不仅仅体现了数形结合，更展示了语言文字表达、个人审美的理念等思维、思想水平，故受到命题者青睐。
　　1.苏同学为班级“学习专栏”设计了报头图案，并用文字说明图案的含义，如图6-1-（1）。请你用最基本的几何图形（如直线，射线，线段，角，三角形，四边形，多边形，圆，圆弧和函数图像等）中若干个，为“环保专栏”在图6-1-（2）方框中设计一个报头图案，并简要说明图案含义。
　　（1）我们喜欢“合作学习”活动（2）
　　图6-1
　　2.请用几何图形“△”“��”“”（一个三角形，两条平行线，一个半圆）作为构件，尽可能构思独特且有意义的图形，并且写上一两句贴切，诙谐的解说词。（至少两幅图）如图6-2。
　　总之，要很好地掌握数形结合的方法，我们应注意以下几点：
　　（1）要善于观察图形，对图形中蕴含的数量关系要有一定的认识；
　　（2）正确绘制图形，尽量清晰地反映图形中相应的数量关系；
　　（3）把握“数”与“形”的对应关系，以“形”感知“数”，以“数”认知“形”；
　　（4）灵活应用数、形的转化，提高思维的灵活性与创造性。
　　注：“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”
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