一道竞赛题证法再探究|下利病证治源流探究
时间：2018-12-26 03:25:49 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
摘要: 本文对一道内含丰富且具有探究价值的数学竞赛题进行了再探究,并给出几种不同的证明方法｡ 关键词: 竞赛题 证法 探究 《中学数学教学参考》2008年第7期(上半月•高中)刊登了2008年全国高中数学联赛陕西赛区预赛第二式第五题:
如图1,AB是半圆O的直径,C是 的中点,M是弦AC的中点,CH⊥BM,垂足为H｡求证:CH =AH•OH｡
参考答案中给出了一种证法,吕建恒老师在文献中又给出了八种证法,笔者通过研读与探究再给出四种证法｡
证法一:如图2,连结OC,BC,OM｡
∵CH⊥BM,CO⊥AB｡
∴O､B､C､H四点共圆｡
∴∠BHO=∠BCO=45°,∠OAM=45°,
于是O､A､M､H四点共圆,
故∠OHA=∠OMA=90°,
在Rt△BMC中, = = = ,
∴MH= CH,BH=2CH｡
又O,M分别为AB､AC的中点,
则有S =S =2S ,
即BH•CH=2AH•OH｡
∴CH =AH•OH｡
点评:本证法充分考虑点H的特点(MH= CH,BH=2CH),结合面积使问题得以解决｡
证法二:如图3,延长BM､AH分别交半⊙O于点D､E,连结AD､BE｡
由证法一知∠MHA=45°,且H点为AE的中点,
所以△ADH与△BEA皆为等腰直角三角形｡
∴△ADH∽△BEA,
由此得 = ,即 = ,
∴CH =AH•OH
点评:本证法构造了两个相似等腰直角三角形,利用“媒介”线段过渡使问题得证｡
证法三:如图4,连结OM,OC,BC｡易证O､B､C､H四点共圆,且O､H､M､A四点共圆,在上述二圆内由托勒密定理得到:
CH•OB+OH•BC=BH•OC｡①
OH•AM+MH•OA=AH•OM｡②
又BH=2CH,MH= CH,OB=OC=OA,AM=OM= OA,BC= OB｡
由①得CH•OB+OH• OB=2CH•OB,即CH= OB｡③
由②得OH•OM+ CH • OM=AH•OM,即2OH+ CH=2AH｡④
由③与④可得CH =AH•OH｡
点评:考虑圆内接四边形,借用托勒密定理从而使问题得解｡
证法四:如图5,延长AH交半⊙O于点E,取BH中点G,连结OG､EG､EC､EB,
又∠AEC=∠ABC=45°,由证法一,OH⊥AE,且∠EHG=∠MHA=∠OHG=45°,CH= HB=HG,
∴CHGE与OHQG都是正方形｡
∴CH =HE•HQ=AH•OH｡
点评:该证法揭示了三线段CH､AH､OH之间的几何意义:以CH为边长的正方形对角线､半对角线分别是AH和OH｡
本题中H点的位置也很特殊:(1)H点是MB的一个五等分点;(2)H点是DB的一个三等分点(见图6)｡由此还可产生很多结论,在此不作赘述｡
挖掘题目的内在联系,围绕一定的教学目的,对某些典型的题目进行一题多解或一题多变的探究,对培养学生的思维能力和创造能力是有积极意义的｡
参考文献:
[1]吕建恒.一道竞赛题证法探究[J].中学数学教学参考(上半月•高中),2008,8.
注:“本文中所涉及到的图表､注解､公式等内容请以PDF格式阅读原文｡”
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