不等式的证明
时间：2021-03-18 00:05:57 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
不等式的证明考察了学生综合运用各数学知识的能力，因此不等式的证明是高中阶段数学学习的难点之一．在不等式证明中最常用到的证明方法为比较法（包括作差法，做商法），综合法，分析法这三个方法．其它还包括反证法，放缩法，换元法，函数（主元）法等作为辅助．在不等式证明中需要融合以上多种方法，往往在综合法中蕴涵分析法，分析法中融合了综合法．在使用上述方法证明不等式时主要用到的数学工具是：不等式的基本性质，基本不等式（包括均值不等式），函数的单调性．
比较法
比较法就是通过两个实数与的差的正负或商的范围达到确定与大小关系的方法．
1、作差法：通过，，确定与大小关系．其一般步骤为“作差----变形----判定（与0比较）”．作差法是不等式证明最基本，最常用的方法．
2、作商法：当均正时，通过，，确定的大小关系．其一般步骤为“作商----变形-----判定（与1比较）”．一般情况下在证明幂、指数不等式时常用作商法．
例1证明，．求证：．
分析不等式左右两边与、与有公因式，可以考虑用作差法证明．
解析
且
当时，，从而，
当时，，从而，
当时，，从而，
综上所述，即有．
点评作差因式分解后，利用不等式的基本性质这一理论依据确定差的正负．使用此题的结论，我们可以得到如下不等关系：
当时，有．
例2，且．证明：．
分析由指数函数的值域知均正，从而也为正数，又考虑到指数的运算性质“”，因此本题可用作商法证明．
解析，
，
当时，，，从而，
当时，，，从而，
综上所述，即．
点评本题在作商后，运用了指数函数的单调性这一工具确定商与1的大小关系．本题也可用作差法证明，但证明过程较作商法繁琐．
例3已知，证明：．
分析通过观察可知本题既可用作差法也可用作商法．若用作差法需要对底数分类讨论，若用作商法结合对数换底公式可得，不需要对底数分类讨论，因此本题用作商法证明可能比较方便．
解析，
，，，
点评从本题的分析过程来看，只有在对数的相关知识掌握得比较好的前提下，才能选择最恰当的证明方法．
综合法
综合法的特点是“由因导果”，即从已知条件或基本不等式出发，利用不等式的基本性质及相关定理，推导出所要证明的不等式．
例4已知，证明：．
分析观察所要证明的不等式，不等式左右两边的次数相同（各项均为2次），且与
几何平均数相关，与平方平均数相关，可考虑从基本不等式出发，利用综合法证明．
解析，，
同理，，
相加得．
点评本题条件比较简单，若直接从条件出发证明结论较困难．通过观察所证明的不等式的结构，选择从均值不等式出发，问题就迎刃而解了．此外本题的结论也常用来证明其它不等式，可理解为“三个数的平方和大于等于这三个数交叉乘积的和”．
（1）若，证明．
（2），证明．
分析（1）中只含有2个字母，可以考虑用作差法证明不等式；另外观察（1）中所要证明的不等式，不等式左右两边的次数相同（各项均为1次），也可考虑从均值不等式出发，利用综合法证明．
方法一（作差法）
，，，
，即．
方法二 （综合法），，
从而，
同理，
两式相加得，
即．
分析 （2）中涉及到三个字母，若用作差法证明，式子变形比较困难，因此（2）选择方法二证明比较方便．
解析略．
点评当所求证的不等式左右两边各项次数一致时，一般可用均值不等式加以证明．大家可以利用此方法证明下列不等式：① ，证明：；
②证明．
例6，且．证明：．
分析不等式左右两边各项次数不一致，不能利用均值不等式直接证明．观察题中的条件，可利用此条件调整次数，使得不等式左右两边次数相同，即为-1次，而也为-1次，从而可利用均值加以证明．
解析，且，
．
点评当所求证不等式两边次数不一致时，若想要用均值不等式证明，先要利用已知条件将不等式左右两边次数化为相同的．作为巩固，大家可以证明以下不等式：
若，且．证明①；②．
分析法
分析法的特点是“执果索因”，即从所要证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些条件是否具备，若能肯定这些条件已具备，那么就可以断定原不等式成立．在用分析法证明不等式的时候，要注意书写格式．
例7已知．证明．
分析已知条件比较简单，而所求证的不等式较复杂，可以考虑从结论出发，利用分析法证明．
解析要证，
只要证，
只要证，
只要证，
只要证
，
，
成立，
从而．
例8已知，且．求证．
分析，不等式可化为，即．通过观察分析，前一个不等式可利用均值不等式证明，所以证明时可采用综合法，后一个不等式，直接从条件和基本不等式证明比较困难，证明时可采用分析法．
解析，
只要证，
只要证．
，
成立．
要证，
只要证，
只要证，
，且，，
，
成立，
成立．
综上，．
点评本题中，在证明不同方向的不等式时分别用到了综合法和分析法．在主用综合法的证明过程中也用到了分析法；在主用分析法的证明过程中，当分析到某充分条件已经能判定其成立时，我们转而用综合法说明充分条件成立．因此综合法和分析法并不是相对立的两个方法，而是统一的有机体，在证明问题的时候我们常常需要在这两种方法之间灵活切换．
例9、已知，．
求证：（1）；（2）．
分析（1）所求证的不等式结构简单且与分别与算术平均数和几何平均数相关，可以考虑从均值不等式出发，利用综合法证明；
（2）所求证的不等式相对已知条件来说比较复杂，直接从简单的条件推导出复杂的结论比较困难，可考虑从结论出发，找寻使得结论成立的充分条件，利用综合法证明．
解析（1），，
．
（2）要证 ，
只要证，
只要证，
只要证，
只要证，
只要证，
由条件，成立．
从而．
点评当条件比较复杂，结论较简单时，可考虑采用综合法证明．其实质是将复杂条件利用相关知识化简，直到推导出比较简单的结论．当条件比较简单，结论比较复杂，可考虑采用分析法证明．其实质是不断找寻使得结论成立的简单（充分）条件，是化简结论的过程．
本文介绍了不等式证明中最常用到，也是最基本的三种方法。不等式的证明往往题型多变、方法多样、技巧性强，因此无固定的规律可循，不是用一种方法就能解决的，它是多种方法的灵活运用，也是各种思想方法的集中体现。解决这个问题的途径在于熟练掌握不等式的性质和一些基本不等式，灵活运用常用的证明方法。
