用导数巧解物理题|巧解导数题数学之友
时间：2019-01-30 03:36:51 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
我们在研究和解决物理问题中，总离不开数学这个工具，而且处理的问题愈高深应用的数学知识也愈多。在总复习中若能引导学生用导数来解决物理问题，不仅解题速度快，而且能深化相关学科知识，可取得事半功倍的教学效果。�
1利用导数再定义速度和加速度：速度是位移对时间的导数；加速度是速度对时间的导数，也即位移对时间的二阶导数。�
例1物体做匀速直线运动，位移s＝10t＋5t2，求：（1）t=20s时物体的速度；（2）物体的加速度。
解（1）v=s′=（10t＋5t2）′=10＋10t。
当t=20s时，v=210m/s。�
（2）a=v′=（10t＋5t）′=10m/s2。�
例2如图1所示，点光源S发出的光通过光屏AB上的孔Q射到平面镜M上，光屏与平面镜的初始位置平行，光线SO方向与平面镜初始位置垂直，且OQ=d。当平面镜绕过O点的转轴以角速度ω逆时针转过30°角时，求光线SO 经平面镜反射在光屏AB上的光点P沿AB移动的即时速度。�
解法一平面镜转过30°时，反射光线转过60°，即θ=60°，所以，OP＝d/cos60°＝2d，此时光线在AB屏上入射点绕O点转动的线速度v1=OP・2ω=4ωd，由速度分解（如图所示），光点P沿AB运动的速度v=v1/cos60°=2v1=8ωd。�
解法二在时间t内，平面镜转过ωt，而反射光线转过2ωt，即θ=2ωt，�
AB=d・tan(2ωt)。�
光点P沿AB运动的速度，求导有�
v=AB′=2ω dsec2(2ωt)。�
当ω t=30°时，v=8ωd。�
比较以上解法，用导数解题简便快捷，学生也容易理解、接受。�
2利用导数表示法拉第电磁感应定律。�
法拉第电磁感应定律：在电磁感应现象中产生的感应电动势大小，跟穿过这一回路的磁通量的变化率成正比，用公式表示为E=nΔφΔt，若利用导数，又可以表示为E=nφ′。�
例3（2003年福建省质检）如图2所示，足够长的两光滑导轨水平放置，两条导轨相距为d，左端MN用阻值不计的导线相连，金属棒ab可在导轨上滑动，导轨单位长度的电阻为r0，金属棒ab的电阻不计。整个装置处于竖直向下的均匀磁场中，磁场的磁感应强度随时间均匀增加，B=kt，其中k为常数。金属棒ab在水平外力的作用下，以速度v沿导轨向右做匀速运动，t=0时，金属棒ab与MN相距非常近。求当t=t0时，水平外力的大小F。�
原解回路中的磁场变化和导体切割磁感线都产生感应电动势，E总=ΔBΔtS＋Bdv。�
ΔBΔtS=kt0t0dvt0=kdvt0。�
I=E总R，B=kt0，R=2r0vt0。�
所以I=kdr0 ，即F=BId=k2d2t0r0。�
总电动势有两项，学生对此存在疑惑。若利用感应电动势的导数形式，则E=φ′=（BS）′，由于B、S都是关于时间的函数，则E=（BS）′=B′S＋BS′=kdvt0＋kt0・dv=2kdvt0。这样能消除学生的疑惑，更容易接受。�
3利用导数求极值�
利用导数求极值在数学中经常遇到，然而在求物理问题中的最大（小）值问题，很多学生很难想到用数学方法，故教师应引导学生将物理与数学联系起来，培养学生思维的迁移。�
例4如图，一艘渔艇停泊在距岸9km的A处，今需派人送信给距渔艇334km的C处海岸渔站，如果送信人步行速度为5km/h，船速为4km/h，问应在何处登岸再步行可以使抵达渔站的时间最省？�
解设D海岸线上的登岸位置，CD=s，�
BC=AC2-AB2=15km，�
AD=AB2-BD2=81+(15-s)2。�
由A到C所需的时间t=tAD＋tDC=81+(15-s)24+s5（0≤s≤15km）。�
t对s求导t′=-15-s481+(15-s)2＋ 15。�
令t′=0，解得s=3km。�
在s=3km附近，t′由负到正，故在s=3km处取得最小值。�
又因为在C点登岸时间t=3344s，在B点登岸t=214s,在CD=3km处登岸t=8720s。�
比较可知，在距渔站3km处登岸可使抵达渔站的时间最省。
(栏目编辑黄懋恩)
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