混合策略的线性规划模型【二元线性规划解题中的策略】
时间：2019-01-03 03:21:44 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
摘 要: 本文主要介绍了二元线性规划在数学各分支之间的解题的综合应用,以它直观的几何图形,展示了多元变量的关系,体现它独特的解题思路。 关键词: 二元线性规划 多元变量 解题思路
在数学问题的解决过程中,经常遇见一些二元变量或多参数问题,这类问题没有常规的方法解决,解决的过程中十分容易出错,还不容易找出错误的原因。在这里我结合自己的解题经验,把这些问题转化为二元线性规划问题解决,体现它的独特的解题思路。
一、求解多参数的取值范围
例1:已知二次函数f(x)=ax+bx+c,a≠0的图像过原点,且1≤f(-1)≤2,3≤f(1)≤4,求a,b和4a-2b的取值范围。
解法1:∵f(x)=ax+bx+c,图像过原点,
∴c=0。
∵1≤f(-1)≤2,3≤f(1)≤4,
∴1≤a-b≤2,3≤a+b≤4,
由不等式的性质得:2≤a≤3,0.5≤b≤1.5,
∴8≤4a≤12,-3≤-2b≤-1,
∴5≤4a-2b≤11。
解法2:由已知得f(1)=a+b,f(-1)=a-b,
∴a=[f(1)+f(-1)],b=[f(1)+f(-1)],
∴f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1),
而1≤f(-1)≤2,3≤f(1)≤4,
∴6≤f(-2)≤10。
解法3:设m(a+b)+n(a-b)=f(-2)=4a-2b,
∴m+n=4,m-n=-2,
∴m=1,n=2,
∴f(-2)=(a+b)+3(a-b)=f(1)+3f(-1),
而1≤f(-1)≤2,3≤f(1)≤4,
∴6≤f(-2)≤10。
上面三种解法中,解法一是错误的,解法二和三没有解出a、b的取值范围,都存在缺点。下面我们用线性规划来解决,与上面的方法相对比。
解法4:∵1≤f(-1)≤2,3≤f(1)≤4,即1≤a-b≤2,3≤a+b≤4,如图1,以aob为直角坐标系,线性约束条件为1≤a-b≤2,3≤a+b≤4,可行域为四边形ABCD内部,
∴A(2,1),B(,),C(3,1),D(,),
∴2≤a≤3,0.5≤b≤1.5。令m=4a-2b,
∴b=2a-,-为直线b=2a-在纵轴上的截距,
∴过A(2,1)有最小值为6,过C(3,1),m有最大值为10,即6≤4a-2b≤10。
总结:对上面几种解法分析,解法4利用了二元线性规划的几何图形,清楚地展现了思维过程,解法1中4a-2b=5时,a=2,b=1.5;4a-2b=11时,a=3,b=0.5;而点(2,1.5)和点(3,0.5)都不在解法4的可行性区域外,所以解集扩大了。
二、解决方程中的问题
例2:设a、b都是正数,方程x+ax+2b=0,x+2bx+a=0,都有实数根,求a,b的取值范围及a+b的最小值。
分析:对此问题直接解比较困难,但可以转化后就容易解决。
解:由已知得a-8b≥0,b-a≥0,a>0,b>0。
令m=a+b,以aob直角坐标系内把a-8b≥0,b-a≥0,a>0,b>0作为约束条件,则b=-a+m看作直线,求截距m的最小值。
如图2阴影部分为可行域,则A(4,2),
∴a≥4,b≥2,m有最小值为6,即a+b有最小值为6。
三、解决集合中的问题
例3:设集合A={(x,y)|y≥|x-2|},B={(x,y)|y≤-|x|+b}。
①A∩B≠Φ时,b的取值范围是( );②若(x,y)∈A∩B,且x+2y的最大值为9,则b的值为( )。
解:①如图3,对A,x≥2时,y≥x-1;xz,x+z>y,y+z>x,x+y+z=3,
∴x+y>,00)取得最大值的最优解有无数个,求m的值。
答案:(1)z∈[,5];(2)最大值29,最小值2;(3)m=。
7.如下图,在0到1之间随机选择两个数x,y,这两个数对应的把0―1之间的线段分成了三条线段a,b,c,求用这三条线段a,b,c不能构成三角形的概率。
参考文献:
[1]数学分析.华东师大出版社.
[2]中学数学教学参考.陕西师大出版社.
[3]世纪金榜.2009版.
[4]5年高考3年模拟.2009版.
[5]怎样解题.2006版.
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