图上带指数源项ω-扩散方程解的爆破现象
时间：2022-12-08 08:25:03 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
周亚新,黄 琳,朱立平
(西安建筑科技大学 理学院，陕西 西安 710055)
全球大约90%的能源是由燃烧提供的。20世纪70年代初，研究者们建立了经典的燃烧理论，于是学者们将其方法应用于各种气体、煤粉燃烧，建立了燃烧数学模拟及数值计算方法。随后，燃烧现象的建模及可燃系统引起的反应扩散问题成为各个领域研究的热点。
早在1989年，BEBERNES研究了固体燃料点火模型的存在唯一性，爆破时间以及爆破点等性质［1］。ZHU 研究了一类带指数源的小型扩散抛物方程，证明了当ε→0 时，解的爆破时间收敛于相应ODE 的爆破时间，并对爆破时间给出了精确估计［2］；
ZHOU等研究了Neumann 边界条件下带有指数反应项的非局部扩散方程［3］；
MA则讨论了一类加权指数非线性反应扩散方程解的爆破［4］。更多关于爆破的问题参见文献［5-8］。不过，学者们大多研究连续问题，很少关注离散问题［9-11］。
近年来，部分学者开始研究定义在网络结构上演化方程的奇异解。在数学上，通常把网络看作一种加权图。顶点表示对象，边表示对象之间的联系，它被广泛地应用于分析离散对象。文献［12-13］讨论了不同的边值问题。随后，文献［14］研究了网络上ω-heat 方程的解，刻画了初边值问题解的性质，文献［15-16］将其应用于能量流模型、电阻网络等。同时，也有学者在图上考虑了方程解的性质［17-23］。基于上述工作的启发，本文研究下列方程解的爆破现象：
式中：Un=(ui(x1,nΔt),ui(x2,nΔt))T，Δt为时间间隔。令μ1=0.5，μ2=1，α=1.5，当f(t,α)=eαt时，数值实验结果如图2 所示；
当f(t,α)=tαt时，如图3 所示。由图2、3可知在有限时间内爆破。
图2 f(t,α)=eαt的爆破现象(算例1)Fig.2 The blowup phenomenon whenf(t，α)=eαt(case 1)
图3 f(t,α)=tα的爆破现象(算例1)Fig.3 The blowup phenomenon when f(t,α)=tα(case 1)
图4 G2Fig.4 G2
图5 f(t,2)=eαt的爆破现象(算例2)Fig.5 The blowup phenomenon when f(t,2)=eαt(case 2)
图6 f(t,α)=tα的爆破现象(算例2)Fig.6 The blowup phenomenon when f(t，α)=tα（case 2）
通过3 个算例可知，当源项中的f(t,α)=exp(αt)或f(t,α)=tα时，解 均 在 有 限 时 间 爆 破，且f(t,α)=exp(αt)的解比f(t,α)=tα的解爆破得更快。
图7 G3Fig.7 G3
图8 f(t，α)=eαt的爆破现象(算例3)Fig.8 The blowup phenomenon when f(t，2)=eαt(case 3)
图9 f(t，α)=tα 的爆破现象(算例3)Fig.9 The blowup phenomenon when f(t，α)=tα(case 3)
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