[赋值法在解答数学问题中的应用] 数学赋值

时间：2018-12-23 19:39:03　来源：雅意学习网本文已影响人

　　摘要：在数学解题过程中，我们经常碰到一些棘手的问题，往往要选择不同的方法才能对付不同的问题，这是数学问题解答的常见办法。本文主要论述运用赋值法解答数学问题。　　关键词：数学问题赋值法解题方法
　　
　　赋值法是指给定的关于某些变量的一般关系式，赋予恰当的数值或代数式后，通过运算推理，最后得出结论的一种解题方法。下面介绍它在解答数学问题中的应用。
　　
　　一、赋值法在二项展开式中的应用
　　
　　例3. 设f(x)的定义域为R，且f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)，求证：f(0)≠0时，f(x)是偶函数。
　　分析：函数奇、偶性的判断，根据定义须在关于原点对称的定义域中来判断f(-x)与f(x)或-f(x)的关系。
　　证法一：令x=y=0，则f(0)=1。
　　赋x为0，y为x，则有：f(x)+f(-x)=2f(0)f(x)，即f(-x)=f(x)，所以f(x)为偶函数。
　　证法二：赋y为x，x为y，则有：
　　f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)…………………………………（1）f(y+x)+f(y-x)=2f(y)f(x)…………………………………（2）
　　∴f(x-y)=f(y-x)=f(-(x-y))，即f(x)为偶函数。
　　
　　三、赋值法在恒成立问题中的应用
　　
　　例4. 是否存在实数a，b c，使得函数f(x)=ax +bx+c对于任意实数a均满足下列条件：
　　（1）f(sinα)≥2；(2)f(2-cosα)≤2；(3)f(4)≥c，若存在，找出一组数a，b c，并画出函数的图象，若不存在，说明理由。
　　解析：若直接把sinα、2-cosα、4代入原函数化简，方程个数较多，自变量形式复杂，给解题带来一定难度，注意到题目中条件对一切实数α均能使等式恒成立，故不妨令α为特殊值为突破口。
　　在（1）中令sinα=1，则有f(1)≥2，在（2）中令cosα=1，则有f(1)≤2，
　　∴f(1)=2，即a+b+c=2；
　　由f(4)≥c，得4a+b≥0，
　　在（2）中令cosα=-1，可得f(3)≤-2，化简即得4a+b≤0，可得4a=-b，则可求得c=3a+2；
　　
　　在（2）中令cosα=0，有f(2)=2-a≤2，∴a≥0，则（1）式表示开口向上，对称轴为x=2的抛物线，取a=1，此时b-4，c=5，所得抛物线符合题意。
　　四、在选择题及填空中的特殊应用
　　选择题、填空题因其题目的特殊性，在有些问题中不要求有严密的推理证明，而只要能借助于一些特殊方法写出正确结果即可，故其应用相当普遍。
　　
　　例7. △ABC中，角A，B，C依次成等差数列，则a+c与2b的大小是（?摇?摇）。
　　A. a+c＜2b?摇 B. a+c＞2b?摇 C. a+c≥2b ?摇D a+c≤2b
　　解析：题中没有给定三角形的形状，不妨令A=B=C=60°，则可排除A、B，再取角A、B、C分别为30°、60°、90°，可排除C，故答案为D。
　　
　　解析：∵f(x+1)=-f(1-x)对一切x∈R都成立，当然可以把x+1和1-x分别代入函数关系式得：(x+1+a) (1-x+a) ，化简后得到a的值。然而既然f(x+1)=-f(1-x)对一切x∈R都成立，不妨令x=0，可得f(1)=0，代入原函数关系可得a=-1，即f(x)=(x-1) ，故f(2)+f(-3)=-63。
　　
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