判别式_多功能的判别式
时间：2020-02-28 07:24:48 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
中学义务教材中,判别式b2-4ac的用法，灵活而广泛：既可以用在解方程，判定根的情况；又可以用在代数证明方程有无根的具体现象；还可以判断，用定长材料制作的平面图形面积的可能性和最大值；同时，可用于求特定多项式的系数和商品营销中，利润的可能性及最大值。本文给出示范说明，以求参考和指点。
1 判别式b2-4ac在解一元二次方程中
1.1 当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根。
例1、解方程2x2-3x-5=0。
解：这里a=2,b=-3,c=-5;b2-4ac=(-3)2-4×2×（-5）=49＞0。
方程有两个不相等的实数根是:
x1=2.5,x2=-1;
1．2 当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根。
例2、解方程4x2-4x+1=0。
解：这里a=4,b=-4,c=1;b2-4ac=(-4)2-4×4×1=0.
方程有两个相等的实数根是x1=x2=0.5
1．3 当b2-4ac＜0时，方程没有实数根。
例3、解方程4x2-3x+1=0。
解：这里a=4,b=-3,c=1;b2-4ac=(-3)2-4×4×1=-7＜0。方程没有实数根。
2 判别式b2-4ac在代数证明方程有无根的具体现象
2．1 求证：关于x的方程x2+(m+2)x+2m-1=0有两个不相等的实数根。
证明：∵b2-4ac=(m+2)2-4×1×（2m-1）=m2-4m+8=(m-2)2+4,又(m-2)2≥0
∴(m-2)2+4≥4�0
∴关于x的方程x2+(m+2)x+2m-1=0有两个不相等的实数根。
2．2 求证：关于x的方程x2+2mx+m2=0有两个相等的实数根。
证明：∵b2-4ac=（2m）2-4×1×m2=0. ∴关于x的方程x2+2mx+m2=0有两个相等的实数根。
③求证：关于x的方程x2+2mx+2m2=0没有实数根
证明：∵b2-4ac=（2m）2-4×1×2m2=-4m2＜0。∴关于x的方程x2+2mx+2m2=0没有实数根。
3 用定长材料制作的平面图形面积的可能性和最大值
通式：用定长L米的材料制作面积为s的长方形，求民警的最大值。
一般地，设长方形的长为x米，则宽为（50－x）米,于是，面积为：x(50-x)=s。
化一般式得：x2-0．5Ｌx+s=0,
当b2-4ac=0时，即。（-L/2)2-4×1×s=0,最大面积s=L2/16平方米。
例、用100米长的体育建材，围成一个长方形的体育场地，问①面积能成600平方米吗？②面积能成800平方米吗？③面积的最大值是多少？
解：设长方形的长为x米，则宽为(50－x）米,于是，面积为：x(50-x)=s,化成一般式得x2-50x+s=0,①当s=600时，x2-50x+600=0，这时，判别式b2-4ac=(-50)2-4×600＞0,方程有解，所以，面积能成600平方米，②当s=800时，x2-50x+800=0，这时，判别式b2-4ac=(-50)2-4×800＜0,方程无解，所以，面积不能成800平方米。③由一般式x2-50x+s=0知b2-4ac=(-50)2-4×s=0得面积的最大值是s=625平方米。
4 求特定多项式的系数
例、已知多项式4x2+mx+9y2是完全平方式，求m的值。
解：b2-4ac=m2-4×4×9=0,得m=±12
例3、多项式625x2-200x+k是一个完全平方式，求k的值。
解：b2-4ac=2002-4×625k=0,得k=16。
5 求在商品营销中，利润的可能性及最大值
单利润=售价-成本；总利润=单利润×售出件(个)数；
售出件(个)数：y是售价x的一次函数；一般地，设成本a的商品售价x,则售出量y是x的一次函数，总利润w是x的二次函数。
即：y=kx+b。(k、b是常数)；w =（x-a）(kx+b)。
例、成本15元的裤子，售价20元时，日售出500条，售价30元时，日售出450条，①求售价x与售出量y的函数，并回答每涨价1元，少售出多少条？②售价x与总利润w的函数，并求最大利润。
解：①这里a=15,把（20，500）,（30，450）代入y=kx+b得20k+b=500,30k+b=450,解得：k=-5,b=600;故，售价x与售出量y的函数是y=600-5x。由-5x知，每涨价1元，少售5条。②单利润=售价-成本=（x-a）；总利润=单利润×售出件(个)数=（x-a），y=（x-15），(600-5x)=-5x2+675x-900=w。
即，售价x与总利润w的函数是：w=-5x2+675x-900;化简得：x2-135x+180+w=0。当b2-4ac=0时,判别式=（-1352-4×1×（180+w）=0,可得最大利润是w=4376.25元。
