有耗色散介质中的FDTD方法:色散介质
时间：2019-04-21 03:19:55 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
该文讨论了时域有限差分(FDTD)法在地下有耗色散介质中的应用。用数值模拟地下有耗色散目标的瞬态响应，并对结果进行了分析。从以上工作可看出该方法在有耗色散介质中是有效可行的。
时域有限差分；有耗色散介质；Debye方程；吸收边界条件；STWBC边界
用时域有限差分法（FDTD）分析与频率无关的非色散的复杂电磁场问题具有显著的优越性。对单色稳定电磁波的问题，媒质的色散性质不产生影响，对窄频带的问题也可以近似地忽略媒质的色散特性，但对包含宽频谱的瞬态电磁场问题，媒质的色散性质起着重要作用。对于诸如与频率有关的电磁场问题分析计算时，由于存在着时域卷积，计算现时的场量与先前时刻的场量有关，因此在FD-TD计算中则必须将前时刻所有的场量储存起来，这显然是不可行的，使得常规的YEE FDTD方法无法应用。然而FD-TD法经修正后仍可用于分析特殊色散媒质中瞬时传播问题。
近年来国内外不少研究人员对色散媒质FDTD法进行了研究，代表性的研究方法主要有两种：递推卷积法（Luebbers等-1990）和直接微分法。由于很多色散媒质的极化率都无法表示为指数形式，因此无法应用这种递推卷积方法，另外，即使极化率可以表示成指数形式，但每种色散媒质都必须单独推导自己的FDTD方程。显然这种递推法的通用性不强，使用极其不便。直接微分法则依据本构关系的时域微分方程，建立辅助微分方程，最终通过求解关于矢量H，D，E的时域差分方程组得到场解。本文拟从直接微分法出发探讨FDTD法在有耗色散介质中的应用。
1.实现方法
基本方程式。无源有耗(不考虑磁损耗，即)色散媒质，时域内的Maxwell方程为 （1）
其中，E-电场强度(V/m)；H-磁场强度(A/m)；B-磁通密度(Wb/m2)，D-电通密度(C/m2)；-电导率(S/m);-磁导率（H/m），这里设磁导率与频率无关，即，。
以二维TM波为例，采用Yee氏网络，由(1)式中第一式可得到H各分量在t=n△t时刻随时间推进的FDTD公式：
（2）
其中，为每一计算区域的值，为等距空间步长。
将(1)式中第二式在t=(n+1/2)△t时刻做差分离散，可得(即 （3）
按照Yee氏网络，可得Dz分量的FDTD公式：
（4）
转换公式。下面通过直接微分法实现由D到E的转换：
设介质为一阶Debye型有耗色散介质，可以写成以下形式
（5）
式中，为复介电系数，为真空介电常数，分别为静态和无限频率的相对介电常数，为电导率，为驰豫时间常数。
将（5）式代入色散介质频域本构关系，可得 （6）
即 （7）
利用频域到时域的算子转换关系，可得（7）式的时域方程为= （8）
将（8）式在t=(n+1/2)△t时刻离散，可得
（9）
即+ （10）
由此可以得到时域中由D到E转换的FDTD公式
（11）
其中
在以上各式中，对二维TM波，考虑解的稳定性及FDTD法的收敛条件，可取
综上所述，有耗色散介质中FDTD随时间推进的的步骤为，通过式（2）、（4）、（11），依次计算出各分量。
2.吸收边界条件
吸收边界条件。用FDTD求解电磁场问题时假定空间是无限大的，受计算机存储量和计算时间的限制，FDTD的计算只能在有限区域进行。为了使框定的有限空间与无限空间等效，在计算区域的截断边界处必须给出吸收边界条件。使得向边界面行进的波在边界处无明显的反射现象。吸收边界条件的选取与合理设置是FDTD法计算中必须考虑的重要内容。
吸收边界条件从开始简单的插值边界，到后来较常用的Engqusit-Majda的吸收边界条件(Engqusit and majda，1977)，Mur吸收边界(Mur，1981)，Lao吸收边界条件(Liao et al.，1984)以及近年发展的PML完全匹配层（Berenger，1994）和UPML各向异性介质完全匹配层(Sacks 1995，Genney 1996)。其吸收效果越来越好。
驻波-行波吸收边界条件(STWBC)。PML边界体现了更大的优越性，其缺点在于复杂性和适应性，如果是研究有耗问题或色散问题，PML的应用困难将会大大增加。Tan于2001年提出的驻波-行波吸收边界条件(STWBC)，由于该边界比单向波边界所需计算空间小，数值稳定性好，同时不象PML边界需要进行场量分离和附加额外的吸收层，因此计算效率较高。
驻波-行波边界是在计算区域边界处加理想导体，根据电磁场理论，波到达边界面将发生全反射，若是理想导电(磁)壁，则切向电(磁)场为零，切向磁(电)场是入射场的两倍，这是严格正确的。同时，反射场将往回传播，在区域内部形成驻波，随时间推移，驻波逐渐向内部扩展，而反射波未到达区域，场仍保持行波状态。由于FDTD算法具有时序性，即由前时刻场推导当前时刻场，只要在边界处将反射波滤除，只保留入射波，在以后的时空迭代中将不存在反射场，保持了内部区域的行波状态。这就是驻波-行波边界的基本思想。要将反射波滤除，只需在每个时间步迭代时将算出的边界上切向磁场(对理想导电壁边界而言)或切向电场(对理想导磁壁边界而言)除以2即可。
下面给出STWBC边界场的差分格式。以自由空间二维场为例，设电场分量为Ez，磁场分量为Hy，Hx，按Yee氏网格差分格式，设Ez位于整数个网格上，与Hy，Hx相差半个网格，二维计算空间两端序号分别为0-M，0-N，等距空间步长为，时间步长为。现在给出右端的吸收边界条件，在0.5处加理想导电壁，引入辅助电场(0.5=0
由二维FDTD方程有
0.5,1,0.5,
对上式作一阶修正，得右端边界入射磁场迭代式为
其他各端边界条件与此类似，式中。
3.数值验证
图1 第400时间步，波在色 图2 观察点在前2000
散介质空间的传播情况 时间步的电场随时间变化情况
用上述FDTD算法模拟一维TEM波在色散介质中的传播，两端的截断处应用驻波-行波吸收边界条件。色散介质的复数介电系数如式（5）所示，且=2.1491,=4.497，=8.5836,=8.3764，时间步长=8,空间步长为=0.005m，计算区域为，点源位置观察点位置，所加激励源为高斯脉冲,。
如图所见，修正的FDTD公式还是能够很好模拟TEM波在在色散介质中的传播的。本文从直接微分法出发探讨FDTD法在有耗色散介质中的应用，同时应用驻波—行波吸收边界条件(STWBC)，实现对边界条件的处理。该边界比单向波边界所需计算空间小，数值稳定性好，因此计算效率较高。通过数值验证，可看出该方法在有耗色散介质中是有效可行的。
