开放式差速锁原理 [最大值原理在开放式捕鱼中的应用]
时间：2019-02-09 03:28:48 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
摘 要: 本文建立并分析了捕鱼收获模型,得到了正平衡点全局稳定的条件,给出了以最大可持续均衡收获为目标的最优捕获策略.将最优控制与生态学结合起来,把最大值原理运用于开放式捕鱼的最优控制中,推导出了鱼群的最优种群密度x和最优收获率h。
关键词: 开放式捕鱼 最优种群密度 最优收获率 庞特里亚金最大值原理
所谓开放式捕鱼是指任何渔船都可以任意捕捞。当然,要使捕渔业有长期利润,这需要考虑怎样控制每年的捕鱼量才能有利于鱼的繁殖,使得在一定时间内鱼的产量最高,也就是使捕渔业赚得的经济收人总数为最大。为了讨论这个问题,我们首先建立如下数学模型。
设F(x)表示一个给定单种群鱼群的自然增长率,用h(t)表示收获率,x为鱼群的种群密度,t为时间,常数r>0称为种群的内禀增长率,反映了物种内在的特性,k(k>0)反映了资源丰富的程度。当x=k时,种群的规模不再增大,因而k表示环境能容纳此种群个体的最大规模,称为环境容纳量。
则鱼群的增长函数为:=F(x)-h(t)(t≥0)(1)
赚得的经济收人总数为:J=?蘩e[p-C(x)]dt(2)
其中,δ为经济效益指标(折扣率),p为所捕鱼的单位价格,c(x)为单位成本函数。
所以原问题是要求一个最优收获率h(t)来使经济收总数J最大。用欧拉方程求解最优收获率h(t)。设?准=e[p-C(x)][F(x)-x′],那么由欧拉方程:
=・则可得到方程:F′(x)-=δ(3)
应用分析:
下面以H.S.Mohring近年来提出的太平洋大比目鱼群的参数:r=0.68,K=78.3×10kg对Schaefer模型使用本文提出的最大值原理方法来研究一下关于捕鱼的最优收获问题。在最优控制问题中只有某些简单的情况可以获得解析解,而绝大多数情况都只能获得数值解。在此为了能得出x和h的解析式以便具体分析问题,不妨假设每单位重量所赚钱为常数α>0,即P-C(x)=α。以下为所给的状态系统。
状态方程:
x′=rx(1-)-h(t)=0.68x(1-)-h(t)
=x(78.3×10-x)-h(t),
目标函数J=?蘩αeh(t)dt。
解:设λ(t)为伴随向量,则哈密顿函数为:
H=αeh(t)+λ(t)[]x(78.3×10-x)-h(t)],
协态方程为:
λ′=-=-λ[](78.3×10-x)-x]
=[x-0.68]λ,
必要条件为:=αe-λ=0?圯λ=αe。
由于这是一个奇异控制问题,则要想使目标函数取最大值,还应满足Legendre-Clebsch条件(此条件仅为必要条件)。
()=-αδe-λ′=αδe-[x-0.68]λ=0(10)
[()]=0,
()=αδe-x′λ-[x-0.68]λ′
=αδe-×αe[x(78.3×10-x)-h(t)]-[x-0.68]×αe=0,(11)
[()]=×αe>0。
由(9)式和(10)式可知:
-αδe-[x-0.68]×αe=0?圯x=。(12)
由(11)式可知:
h=×78.3×10。(13)
由(12)式可以看出,当δ=0时,产生一个最优种群密度x=39.15×10kg,且产生了最大经济产量h=13.311×10kg。随着δ的上升,最优种群密度x下降,当δ>0.68,即折扣率δ大于内禀生长率r时,那么最优种群密度x=0,在这种情况下,最优收获策略会使资源种群快速灭绝。所以,要使捕渔业获得长期利润,折扣率必须满足0 本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文
