复合函数求导【如何掌握复合函数的求导】

时间：2019-02-03 03:30:13　来源：雅意学习网本文已影响人

　　摘要：复合函数的求导对学生来说是微分学部分的重点也是难点。对这部分的内容按常规的方法（复合函数的概念―复合函数的形成―复合函数的求导）讲解，学生接受不了，学习效果不佳。作者在教学中，首先，从对基本初等函数的定义的掌握入手；其次，复习复合函数的分解原则；最后，引入复合函数的求导法则。经检验学生掌握得快，学习效果明显。
　　关键词：基本初等函数复合函数分解求导法则
　　
　　微分学在科学技术和工农业生产及现代经济管理中应用十分广泛。而复合函数的求导是微分学不可或缺的组成部分，它既是大纲规定的重点、难点之一，又是学生学习感到比较困难和难以掌握的部分，学生牢固地掌握好这部分内容，对于后继课程的学习、专业知识的掌握，以及今后走上工作岗位具有十分重要的意义。但在教学中，发现学生对这部分内容的学习感到困难。我在教学中，首先，从对基本初等函数的定义的掌握入手；其次，复习复合函数的分解原则；最后，引入复合函数的求导法则，循序渐进、环环相扣、步步深入，较好地符合了学生的认知规律。经检验学生掌握得快，学习效果好。
　　一、如何掌握五大类基本初等函数
　　1.将五大类基本初等函数一一列出
　　①幂函数 y=x
　　②指数函数 y=a
　　③对数函数 y=logx
　　④三角函数 y=sinx、y=cosx、y=tanx、y=cotx、y=secx、y=cscx
　　⑤反三角函数 y=arcsinx、y=arccosx、y=arctanx、y=arccotx
　　2.与学生一起判断下列哪些函数是基本初等函数,哪些不是？
　　解：①y=sinv × ②u=cosv √ ③v=secx √
　　④y=sin2v × ⑤y=x √ ⑥y=5x ×
　　⑦v=logx √ ⑧y=（2x+1） × ⑨y=3 √
　　⑩y=sinx+2x-1 × {11}y=sinv × {12}y=lnsinx ×
　　3.总结
　　所谓基本初等函数就是上述第一步所列出的五大类函数，其中自变量和因变量的自母可以更换（即x和y可换成其他字母），但其他地方不得有一点改变。
　　二、复合函数到底如何分解？分解到什么时候就算分解完了？
　　1.复习复合函数的定义
　　2.复合函数的分解原则
　　分解复合函数时应从外向内逐层进行，将各层函数分解到基本初等函数或基本初等函数及常数经有限次四则运算所构成的函数时为止。
　　3.例题
　　例：指出下列复合函数的复合过程
　　①y=（2x+1） ②y=lnsinx
　　③y=arccot ④y=（2+3lgx-5）
　　解①得：第一层y=u
　　第二层u=2x+1
　　点评：第一层y=u是基本初等函数中的幂函数，第二层u=2x+1是幂函数及常数的积及和的形式，符合复合函数的分解原则。
　　解②得：第一层y=lnu
　　第二层u=sinv
　　第三层v=x
　　点评：第一层y=lnu是基本初等函数的对数函数，第二层u=sinv是基本初等函数的正弦函数，第三层v=x是基本初等函数的幂数函数，符合复合函数的分解原则。
　　解③得：第一层y=arccotu
　　第二层u=
　　第三层v=2x
　　点评：第一层y=arccotu是基本初等函数的反余切数函数，第二层u=是基本初等函数的幂函数，第三层v=2x是基本初等函数的幂数函数与常数2的积的形式，符合复合函数的分解原则。
　　解④得：第一层y=u
　　第二层u=2+3lgx-5
　　点评：第一层y=u是基本初等函数中的幂函数，第二层u=2+3lgx-5是指数函数2、对数函数lgx函数及常数3、5四则运算的形式，符合复合函数的分解原则。
　　4.学生练习
　　（1）y=（1-x）（2）y=cot（-x）
　　（3）y=lnx （4）y=lnsin（2x+3）
　　三、复合函数的求导
　　1.复合函数的求导法则
　　设y=f（u），u=y（x），则复合函数y=f［y（x）］的求导法则为y′=y′•u′
　　2.例题
　　求下列复合函数的导数
　　①y=（2x+1）
　　解①得：第一层y=u,y′=10u（y对u的导数）
　　第二层u=2x+1，u′=2（u对x的导数）
　　所以y′=y′•u′=10u•2=20u=20（2x+1）
　　点评：y′=10u表示y对u的导数，u′=2表示u对x的导数，y′表示y对x的导数。根据复合函数的求导法则，将两层导数y′=10u与u′=2相乘后得20u出现中间变量u，此时必须将u=2x+1回代，才得最后的结果。
　　②y=lnsinx
　　解②得：第一层y=lnu，y′=（y对u的导数）
　　第二层u=sinv，u′=cosv（u对v的导数）
　　第三层v=x，v′=2x（v对x的导数）
　　所以y′=y′•u′•v′=•cosv•2x===2xcotx2
　　点评：y′=表示y对u的导数，u′=cosv表示u对v的导数，v′=2x表示v对x的导数。y′表示y对x的导数。根据复合函数的求导法则，将三层导数y′=、u′=cosv与v′=2x相乘后得出现中间变量u、v，此时必须将v=x、v=sinv回代，才能得出最后的结果。
　　③y=arccot
　　解③得：第一层y=arccotu,y′=-（y对u的导数）
　　第二层u=，u′=v（u对v的导数）
　　第三层v=2x，v′=2（v对x的导数）
　　所以y′=y′•u′•v′=-••v•2=-•v=-
　　点评：y′=-表示y对u的导数，u′=v表示u对v的导数，v′=2表示v对x的导数。y′表示y对x的导数。根据复合函数的求导法则，将三层导数y′=-、u′=v与v′=2相乘后得的结果出现中间变量u、v，此时必须将u=、v=2x回代，才能得出最后的结果。
　　④y=（2+3lgx-5）
　　解④得：第一层y=u，y′=u（y对u的导数）
　　第二层u=2+3lgx-5，u′=2ln2+（u对x的导数）
　　所以y′=y′•u′=u•（2ln2+）=（2+3lgx-5）（2ln2+）
　　点评：y′=u表示y对u的导数，u′=2ln2+表示u对x的导数，y′表示y对x的导数。根据复合函数的求导法则，将两层导数y′=u与u′=2ln2+相乘后得出的结果中出现中间变量u，此时必须将u=2+3lgx-5回代，才能得出最后的结果。
　　3.总结
　　将复合函数分解并将分解得到的各层函数分别求导；注意到求导过程中的每一步是求哪个变量对哪个变量的求导，在书写格式上，开始阶段要求学生写出中间变量，并按法则详细写出求导过程；将得到的各层导数相乘，得到的结果中出现中间变量，此时将中间变量回代才得最后要的结果；熟练后则可省去设中间变量，直接完成求导过程。
　　4.学生练习
　　（1）y=（1-x）（2）y=cot（-x）
　　（3）y=lnx （4）y=lnsin（2x+3）
　　
　　参考文献：
　　［1］教育部职业教育与成人教育司推荐教材五年制高等职业教育文化基础课教学用书《数学二》.
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