马德堡半球实验证明了什么 马德堡半球实验中大气压力的计算
时间：2019-01-30 03:37:01 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
在马德堡半球实验中，将直径为30多厘米的两个铜制空心半球合在一起，用抽气机抽出其中的空气，用了十六匹马才艰难地将二半球拉开。可见大气压作用在二半球上的压力是非常大的。有很多学生常常想计算出这个压力究竟有多大?而半球外表面所受大气压力的合力的求法要用到高等数学知识，所以在中学阶段不能直接去求，有很多资料采用了一种等效的解决方案，那就是利用直径与半球直径相等的圆盘来代替半球如图1所示，即认为每一圆盘外表面上受到的大气压力与一半球外表面受到的大气压力的合力相等，如果这种处理方案合理的话，这就大大简化了对拉开马德堡半球用力大小的计算，下面笔者就从理论上来探讨一下这种等效处理是否合理。�
问题如图2，设将二半球合在一起，形成球形，置于O―XYZ空间直角坐标系中(图中坐标系的Z轴垂直纸面向外)，球心与坐标系原点O重合，二半球的交接面恰在Y轴和Z轴相交而成的平面上，假设将二半球拉开所加的外力F外作用在二半球与X轴的二交点A、B上，且分别沿X轴的正方向和负方向。�
分析在一半球面上任取一面积元ds受到的大气压力为dF=Pds(P表示大气压)，其方向沿半径指向球心，该力相对于拉开马德堡半球的外力F外来说，只有dF沿X轴方向的分力才形成阻力，而由于几何对称性，沿Y轴和Z轴方向的分力会与该半球面上关于X轴位置对称的面积元上受到的大气压力沿Y轴和Z轴方向的分力相抵消(注意：dF沿X轴的分力大小为dFx=dFcosφ，其中φ表示面积元dS所受指向球心的大气压力与X轴的夹角)，所以每一半球球面上受到的大气压力的合力一定是沿着X轴方向的，因此只需要研究一半球球面上各面积元受大气压力沿X轴方向的分力并对其求和，即为该半球外表面上所受大气压力的合力。�
解(1)右半球外表面受大气压力的合力�
如图2，在右半球球面上，以X轴为对称轴，取一微圆环带，带宽dI=Rda(R表示半球的半径，a表示微圆环带上一点和原点的连线与X轴的夹角)，微圆环带所在圆环的半径应为r=Rsina，则微圆环的周长为2πRsina，故微圆环带的面积为ds=2πRsinadI=2πR2sinada，该微圆环带受到的压力dF=Pds=2πR2Psinada，该微圆环带受到的压力dF沿X轴方向的分量为：dFx=dFcosa=2πR2Psinacosada。�
所以，右半球外表面受到的合力�
F合=∫π20dFx=∫π202πR2Psinacosada
�=∫π20πR2Psin(2a)da
�=∫π20［(πR2P)/2］sin(2a)d(2a)
�=［(πR2P)/2］・［-cos(2a)］π0
�=［(πR2P)/2］・(-cosπ+cos0)
�=πR2P�
(2)等直径圆盘表面受到的大气压力：
因为圆盘外表面的面积S圆盘=πR2，故圆盘外表面受到的大气压力为:�
F圆盘=PS圆
盘=πR2P。�
从上面推导的结果来看，一半球外表面上受到的大气压力的合力F合的值，与一等直径的圆盘外表面上受到的大气压力F圆盘恰好相等。故在研究马德堡半球受大气压力相关问题时，将二半球等效为二圆盘的处理方法是合理的。例在马德堡半球实验中，若R=30cm，大气压强约为一标准大气压，则八对马拉开
二半球所需的力约为多大?�
解(1)与半球等效的圆盘的面积为：�
S=πR2=3.14×(0.3m)2=0.2826m2�
(2)半球外表面所受大气压力约为：�
F=PS=(100000Pa)×0.2826m2�
=28260(N)�
答：拉开二半球所需的力约为28260N。
�(栏目编辑王柏庐)
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