微积分常用极限 [微积分中求极限的常用方法]

时间：2019-01-07 03:39:53　来源：雅意学习网本文已影响人

　　摘要：极限是微积分的一个重要概念，是贯穿微积分的一条主线，极限计算又是学好微积分的前提条件。本文对微积分中一元函数极限的常见求解方法进行了归纳总结，旨在提高微积分的教学水平和学习方法，给初学者提供帮助。
　　关键词：微积分极限常用计算方法
　　
　　微积分是研究变量的一门学科，极限又是微积分的一个重要概念。其理论的确立使微积分有了坚实的逻辑基础，使得微积分在日常生活和科学研究中得以更广泛合理地应用和发展，所以求极限成为微积分的重中之重。极限计算是学好微积分的前提条件，熟练掌握求极限的方法，能够提高微积分的学习能力。求极限的方法有很多，这些方法应因题而异，灵活运用。我结合自己的工作经验，总结和分析了微积分中极限若干求法及注意事项以供参考。
　　一、利用极限定义求极限
　　例1：证明e=0
　　证明：|f(x)-A|=|e-0|=e，
　　故?坌0＜ε（ε＜1），欲使|f(x)-A|＜ε，只要e＜ε，或者x＜lnε.
　　取正数X=-lnε，则当x＜-X时，有|e-0|＜ε，
　　因此e=0
　　注意：当x→+∞时，函数f(x)=e的极限是不存在的。由指数函数的图像得知其值是趋于正无穷大的。即当x→∞时，函数f(x)=e的极限也是不存在的。
　　二、利用极限运算法则
　　1.无穷小运算法则
　　无穷小量本身就是一个极限定义。在求解极限的过程中，巧妙地应用无穷小量的性质，无穷小与无穷大的关系，以及无穷小量的等价代换求解极限将起到事半功倍的效果。但无穷小的等价代换是计算极限时学生最容易出错的方法之一。此方法的难点在于学生搞不清楚替换的原理及对象，还有就是对无穷小的等价概念不清，所以要注意等价是有极限条件的。
　　例2：求•cosx
　　解：因为=0，|cosx|≤1，
　　所以，由无穷小量的性质：有界变量与无穷小量之积仍为无穷小量，
　　因此 •cosx=0.
　　对同一变化过程，α、β为无穷小，由等价无穷小的性质，可得简化某些极限运算的下述规则：
　　①和差取大规则：若β=o（α），则α+β～α
　　例如，==.
　　②和差代替规则：若α～α′，β～β′且β与α不等价，则α-β～α′-β′，且lim=lim，但α～β时此结论未必成立，
　　例如，==2.
　　③ 因式代替规则：若α～β且φ（x）极限存在或有界，limαφ（x）=limβφ（x），
　　例如，arcsinx•sin=x•sin=0.
　　当x→0时，常用的等价无穷小有
　　x～sinx～tanx～arcsinx～arctanx～ln（x+1）～e-1
　　1-cosx～x，α-1～xlnα，-1～x
　　一般的，有当u（x）→0时有
　　u（x）～sinu（x）～tanu（x）～arcsinu（x）～arctanu（x）～ln（u（x）+1）～e-1
　　α-1～u（x）lnα，-1～u（x）
　　这些等价关系在极限的运算中非常重要。需要注意的是在利用等价穷小求极限时无穷小与函数其他组成部分必须是乘、除关系，否则就会产生错误。
　　例3：求
　　解：因为x→0时，ln（1+3xsinx）～3xsinx～3x，tanx～x，
　　所以==3.
　　2.极限四则运算法则
　　利用极限四则运算法则的条件是充分而非必要的。因此，在对极限四则运算法则进行利用时，一定要逐一对所给的函数进行验证。看其是否满足极限四则运算法则条件，若满足只要把x代替函数中的x就行了；若不满足条件的，不能对其直接利用。例如对于分式函数直接代入后如果分母为零，这样代入就没有意义。我们应对函数进行适当的分解因式、通分、分子分母有理化、分子分母同除最高次幂、三角函数等恒等变形，使其符合条件后，再利用极限四则运算法则。
　　例4：求
　　结论：①在分式函数求极限中，当g(x)≠0时，=，当g(x)=0，f(x)≠0时，极限为无穷大；当g(x)=0、f(x)=0时，应消去零因子x-x；②分子、分母同为多项式，求当x→∞时的型极限。
　　=?摇?摇n=m 0?摇?摇 n＞m∞?摇?摇n＜m?摇?摇（ab≠0）
　　三、两个重要极限
　　=1与(1+)=e这两个公式在极限中占有重要位置。而我们在使用公式时并非完全套用公式，而是对其进行适当的变形。如=1，或=1，(1+)=e或(1+f(x))=e，其中f(x)代表相同的表达式。
　　例5：求(sin+cos)
　　解：原式=［(sin+cos)］
　　=(1+sin)
　　=［(1+sin)］
　　=e
　　注意：在利用重要公式时要注意条件=1，(1+x)=e，但=0，(1+)≠e.
　　四、利用洛必达法则求极限
　　洛必达法则是一种常用的、有效的求极限得的方法，它可以求形如，型的未定式，对于形如0•∞、1、∞、∞-∞，0型的未定式，可将它们转化为或型的未定式来计算，其中0•∞和∞-∞型的未定式可通过代数恒等变形将它们转化为或型的未定式，而1、∞、0型的未定式可通过取对数化成0•∞型的未定式。
　　例6：求
　　解：当x→0时，(e-1)sinx～x，因此有
　　=
　　=
　　==
　　从例子中可看出先对极限进行无穷小量的等价代换，然后再应用洛必达法则，这种方法在应用洛必达法则计算未定式过程中往往能使计算简单化。
　　例7：求（-1）
　　解：方法一：用洛必达法则。
　　分析可用洛必达法则，必须改为求（-1），但对本题用洛必达计算较为繁琐。
　　方法二：原式=
　　洛必达法则虽然是有效的求极限得方法，但它不是万能的求极限的方法。
　　应用时要注意几点：（1）lim必须是或型未定式。
　　（2）如果lim不存在，不能判定lim不存在，只能用其他方法来判定这个极限是否存在。
　　（3）在计算过程中要及时化简极限后面的分式及检查是否满足所要求的未定式，若不是则不能对它应用洛必达法则，否则将导致结果。
　　（4）lim存在时，式子是分别对分子分母求导数再求极限而不是对整个分式求导数。
　　总之，除了上面所列的求极限的常用方法外还有其他的方法。例如利用数列的前n项和公式，夹逼定理，拆项或添项，定积分的定义、利用收敛级数求极限、利用泰勒展式求极限、利用左右极限与极限关系来求分段函数分段点处的极限等。函数极限涉及到很多方面的知识，在求极限时应该充分考虑，首先应该分析已知函数极限的类型，再根据条件考虑求解方法。各种求极限方法应灵活掌握，一种方法并不一定就可以解决极限的计算，有些时候要注意极限方法的综合应用，以求达到最终的目的。
　　
　　参考文献：
　　［1］韩汉鹏，马少军，徐光辉.大学数学微积分.北京：高等教育出版社，2010.
　　［2］田军辉.浅谈高等数学中几种常用的求极限的方法.科技信息，2009.
　　［3］同济大学数学教研室编著.高等数学.北京：高等教育出版社，2005.
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