【一类递推数列收敛性的证明】 递推数列1,3,4,7,11
时间：2019-01-03 03:23:12 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
摘 要: 本文证明了满足某些条件的一类递推数列的收敛性质。 关键词: 递推数列 收敛 第二数学归纳法 引理:设常数a>0,b>0。数列{a}满足条件:a=a,a=b,且a=2++,n=1,2,…,则数列{a}收敛。
下面就对该引理进行一点推广,推广后的命题为:
定理:设常数a,b满足ab≠0,a,b∈R,数列{a}满足条件:a=a,a=b,且a=k++,n=1,2,…,其中k,α,β∈R为常数,且k>0,α≥0,β≥0,0,α≥0,β≥0。故有a≥k,n=3,4,…。于是k≤a=k++≤k++=k+,n=3,4,…,即数列{a}有界。
令r=max{,},于是由定理条件可得0≤r0,使得0≤rε0,?埚00∈R,使得p>,p>,p>。
下面用第二数学归纳法证明:
|a-a|0,p∈R,00,p∈R,00时,有f′(x)=3x(x-)≥3k(k-)=k>0。
∴f(x)在[k,+∞)上严格单调递增,于是?坌x,x∈[k,+∞),如果f(x)=f(x),则有x=x。∵当k充分大时,有a≥k,a≥k,且a=ξ,a=ξ,
∴ξ,ξ∈[k,+∞)。
∵f(ξ)=ξ-kξ=α+β,f(ξ)=ξ-kξ=α+β,
∴f(ξ)=f(ξ),
∴ξ=ξ,这与ξ≠ξ矛盾,
∴假定{a}不收敛是错误的。即{a}收敛。
当令k=2>0,α=β=1≥0时,有:
==== 本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文
