【２００８年全国初中数学竞赛（浙江赛区）初赛试题第１７题的４种解答】重庆赛区大学生数学竞赛初赛
时间：2018-12-28 03:34:38 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
中数学竞赛的题型特点鲜明，内容丰富，超越常规，源于课本又高于课本，综合考查学生的信息处理能力、知识迁移能力，对学生的数学意识、数学思维能力和创新意识有较高要求。 本文就2008年全国初中数学竞赛中的一道试题进行一些解法的探讨。
题目：如图，AB、AC、AD是圆中的三条弦，点E在AD上，且AB=AC=AE。请你说明以下各式成立的理由：（1）∠CAD=2∠DBE；（2）AD-AB=BD・DC。
本题的两个命题的结论比较复杂，思路不易形成。如何进行分析找到证明的途径是解决本题的难点。
一、第一问的解答
分析一：在ΔDBE中，∠DBE=∠3-∠4，因此，可考虑考虑将∠DAC也用∠3与∠4表示出来，从中找出∠DBE与∠DAC之间的关系。
证法一：∵AB=AC=AE
∴可设∠4=∠6=x，∠3=∠5=y
则∠DBE=y-x（1），∠BAE=180°-2y
又∵∠DBC+∠BAC=180°
∴2x+∠DAC+（180°-2y）=180°
∴2x+∠DAC=2y，即∠DAC=2（y-x）（2），
由（1），（2）得∠DAC=2∠DBE。
分析二：延长BE交⊙O于F，显然，∠1与∠DBF是同弧所对的两个圆周角，所以∠1=∠DBF。因此，欲证明∠CAD=2∠DBE，只需转化为∠2=∠DBE，从而命题可得到证明。
证法二：延长BE交⊙O于F，连结AF，则∠1=∠DBE。
∵AB=AE=AC
∴∠3=∠5，∠4=∠6
∴∠DBE=∠3-∠4=∠5-∠6=∠ADF-∠6=∠7=∠2。
∴∠1=∠2=∠DBE.
∴∠CAD=2∠DBE.
二、第二问的解答
分析一：（方法：构造辅助圆）在DA的延长线上取点G使AE=AG，注意到AB=AE，则AD-AB=AB-AE=（AB+AE）（AB-AE）=DG・DE。设BD≤DC，在DC上取点B′使DB′=DB，则命题的结论可转化为：DG・DE=DB′・DC。联想到割线定理，可构造辅助圆，从而找到证明的途径。
证法一：设BD≤DC，则在DC上截取DB′=DB（否则在BD上截取），显然B关于AD的对称点为B′，以A为圆心，AB为半径，作⊙A交DA的延长线于G，则点B，E，B′，C在⊙A上，由割线定理得：
BD・DC=DB′・DC=DE・DG（1）
又∵AD-AB=（AD+AB）（AD-AB）=（DE+AE+AE）（DE+AE-AE）=DG・DE（2）
由（1），（2）得：
AD-AB=BD・DC。
分析二：从右到左的计算分析法。
连结DF、CF，注意到DC=DN+CN
所以BD・DC=BD・DN+BD・DN
考察ΔDBE∽ΔADN可得：
BD・DN=AD・DE（1）
考察ΔDBE∽ΔCFN可得：
BD・CN=CF・BE=DF・BE
再注意到ΔABE∽ΔFDE可得：
BE・DF=DE・AE
则BD・CN=DE・AE（2），由（1）+（2）可得证明。
证法二：连结DF，CF，由（1）得:
∠1=∠2，∴CF=DF.
∵∠1=∠DBE，∠4=∠6
∴ΔBDE∽ΔADN
∴=
∴BD・DN=AD・DE（1）
∵∠8=∠DBE
∵AB=AC
∴∠4=∠9
∴ΔDBE∽ΔCFN
∴=
∴BD・CN=CF・BE=DF・BE（2）
又∵∠BAE=∠DFE，∠AEB=∠FED
∴ΔABE∽ΔFDE
∴=
∴BE・DF=DE・AE（3）
（1）+（2）得：
BD・DN+BD・CN=AD・DE+BE・DF=AD・DE+DE・AE
即：BD・DC=DE（AD+AE）=（AD-AE）（AD+AE）=AD-AE=AD-AB
∴AD-AB=BD・DC.
分析三：从BD・DC的积中寻找相似三角形，把命题简化。
连结BC交AD于M，找出含有BD与CD的两个相似三角形。
显然ΔABD∽ΔCMD。可得：
BD・CD=AD・MD=AD・（AD-AM）=AD-AD・AM.
所以只须转化为证明：AB=AD・AM，再考察ΔABM∽ΔADB即可得到证明。
证法三：连结BC交AD于M（如图）。
∵∠a=∠β，∠4=∠6
∴ΔABD∽ΔCMD
∴=
∴BD・CD=AD・MD（1）
又∵AB=AC
∴∠3=∠4，∠a=∠a
∴ΔABM∽ΔADB
∴=
∴AB=AD・AM（2）
（1）+（2）得:
BD・DC+AB=AD・DM+AD・AM=AD（AM+DM）=AD
即:AD-AB=BD・DC.
分析四：巧用轴对称变换，寻找BD・DC的积。
由AB=AC=AE注意到∠3=∠4，故以AD为轴把ΔABD作轴对称变换得到ΔADB′，要得到DB′・DC的积再构造过ΔAB′C的圆，交AD于F，可得DB′・DC=DF・DA=AD（AD-AF）=AD-AD・AF，从而转化为证明AB′=AF・AD即可。
证法四：以AD为轴，使ΔABC与ΔAB′D关于AD成轴对称。
∵AB=AC=AE
∴∠3=∠4
∴B′在DC上
作ΔAB′C的外接圆交AD于F。
则BD・DC=DB′・DC=DF・DA=AD（AD-AF）=AD-AF・AD（1）
ΔAB′F和ΔADB′中，
∵∠a+∠2=180°，∠β+∠1=180°
又∵AB′=AB=AC
∴∠1=∠2
∴∠a=∠β，∠5=∠5
∴ΔAB′F∽ΔADB′
∴=
∴AB′=AF・AD
即AB=AF・AD，代入（1）得BD・DC=AD-AB，即AD-AB=BD・DC.
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