圆锥曲线的统一定义 再探圆锥曲线的和谐统一
时间：2020-02-29 07:28:34 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
椭圆、双曲线、抛物线可由第二定义统一起来，都可通过平面截圆锥面得到，三者之间有很多共性的结论，很多文献都有较为详实的阐述，本文只介绍圆锥曲线上一点处的切线和焦点弦端点处切线交点的有关性质推广。
一、性质探究（1）圆锥曲线上一点处的切线方程
性质1、椭圆 上一点 处的切线方程为
证明：当 时， 得
则在P点处的切线斜率 ，切线方程：
化简得 易证当 时成立。(亦可以从直线与圆锥曲线位置关系证明)
性质2、双曲线 上一点 处的切线方程为
性质3、抛物线 上一点 处的切线方程为
抛物线 上一点 处的切线方程为
圆锥曲线上点P 处的切线方程的统一性：将方程中二次项 换为 ，一次项 换为 即得。
二、性质探究（2）圆锥曲线焦点弦端点处切线交点的有关性质
文［1］对抛物线焦点弦的有关性质作了较为详尽的阐述，本文将其推广到圆锥曲线。
性质4、圆锥曲线焦点弦端点处的切线交点在相应的准线上
如图，过椭圆 右焦点F 的直线交椭圆于，椭圆在A、B处的切线交于 则得直线AM、BM方程分别为： 点M代入得直线AB方程; 由点F在AB上，得 即M在右准线上。
性质5、圆锥曲线焦点弦端点处的切线交点与相应焦点的连线垂直于焦点弦
当直线AB斜率存在时，由性质4： 则
而得直线AB方程;即 则得
易知当直线AB斜率不存在时也成立。同理可证双曲线、抛物线亦满足上面两个性质。
三、性质应用：
例1：点P 在椭圆 上, 直线 与直线垂直,O为坐标原点,直线OP的倾斜角为 ,直线 的倾斜角为 .
(1) 证明:点P是椭圆与直线 的唯一交点.
(2) 证明： 构成等比数列.
评析：本题(1)考查性质1，直线即为椭圆在点P 处的切线。
例2：（2008高考江西卷21题）设点P 在直线 上，过点P作双曲线 的两条切线PA，PB,切点为A,B,定点M
（1） 过点A作直线 的垂线，垂足为N,试求 的重心G所在的曲线方程。
（2） 求证：A、M、B三点共线。
评析：本题（2）利用性质2可求出点A,B处的方程，进而得直线AB方程，这也是切点弦方程的求解方法。
简证（2）设A 则在A、B处的切线方程为：点P同在两条切线上，则有 所以直线AB方程为 而点M满足方程 即A、M、B三点共线。
参考文献：
［1］ 翟洪亮. 抛物线焦点弦端点处切线的性质与相关高考题.中学数学研究.2008(2).
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